Опубликован: 24.09.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 800 / 115 | Длительность: 12:18:00
Лекция 1:

Процентные вычисления

Лекция 1: 12345 || Лекция 2 >
Аннотация: В лекции рассказано о процентах и основных типах задач, связанных с понятием процента. Приведены примеры на каждый тип задач и их решения. Показано, что подобные задачи возникают при оценивании портфеля ценных бумаг и в налогообложении. Отдельно рассмотрена задача ценообразования. Обсуждаются основные методы ценообразования.
Ключевые слова: типы задач

Цель лекции: научиться распознавать и решать четыре типа задач на процентные вычисления; ознакомиться с основными методами ценообразования; решать разобранные типы задач в Excel.

1.1 Понятие процента

Процентом некоторой величины называется сотая доля этой величины. Такой величиной может быть месячный доход семьи, годовая прибыль фирмы, сумма государственного бюджета. Чтобы указать, что величина выражена в процентах, используется специальное обозначение:%. Термин "процент" произошёл от латинского pro centum - на сотню, или за сто. Выражать доли величин в процентах принято в финансовых и статистических расчётах, а также во многих других областях.

В дореволюционной России процент, получаемый за сумму, данную в долг или инвестируемую в некоторое предприятие, в купеческой среде называли интересом.

Гораздо реже используется специальное обозначение для тысячной доли целого (или десятой доли процента) - промилле. Термин "промилле" произошёл от латинского pro mille - на тысячу, или за тысячу. Для промилле также имеется специальное обозначение: %. В страховом деле плату за страхование (страховую премию) удобно, порой, выражать не в процентах, а в промиллях. Например, если имущество застраховано на 100 000 руб. c 3%, то страховая премия составляет

 \displaystyle{\frac{100\,000}{1\,000}}\times 3\,=\,300\mbox{ руб.}

Необходимо различать два понимания термина процент. Во-первых, процент выступает как процентное число, указывая на часть целой величины или долю. Именно такое понятие процента чаще всего используется в социально-экономической статистике и законодательной практике регулирования предпринимательской деятельности. Например, в 2013 г. доходы от налога на прибыль предприятий составили 3.46% в общей сумме доходов Федерального бюджета Российской Федерации (12 865.9 млрд рублей). Примером законодательных формулировок, в которых используются процентные числа, являются нормы, определяющие налог на добавленную стоимость (НДС) в размере 18% или налог на прибыль корпораций в размере 20%. Однако эти величины часто меняются законодателем, поэтому читатель должен ориентироваться на современные правовые акты.

Во-вторых, и это основное понимание процента в этом курсе, процент связан с начислением сумм (процентных платежей) за определённые промежутки времени. При этом здесь следует различать ставку процента (interest rate) как некоторое число, выраженное в процентах или долях (единицы) данной величины и проценты (interest) как соответствующее абсолютное количество данной величины. Например, при годовой ставке 10% по вкладу в банке, что есть указание на годовую процентную ставку по вкладу, и начальной величине вклада 100 000 руб. наращенная за год сумма 10 000 руб. называется процентами по вкладу.

Важное замечание. Если в тексте написано r%, то эта величина равна вещественному числу r/100: 10%=0.1. И наоборот, если в тексте написано вещественное значение i (без знака %), то ему соответствует i*100%: 0.1=10%.

В настоящей лекции мы рассмотрим лишь простейшие задачи на процентные вычисления, связанные с первым пониманием процента как процентного числа. Внимание - и здесь можно ошибиться!

При процентных вычислениях очень важно отчётливо понимать, какая величина принята за 100%. Эта величина называется базой. Например, в упомянутом выше примере с Федеральным бюджетом Российской Федерации базой является сумма бюджета в 12 865.9 млрд, рублей. Тогда 3.46% налоговых поступлений означают, что величина налоговых поступлений составила

12\,865.9 \times 3.46/100=445.16\mbox{ млрд\,руб.}

Рассмотрим четыре задачи на процентные числа, на которые мы затем в будем ссылаться как на четыре основные задачи.

Основная задача 1. Определить число, которое составляет n% от числа A.

Решение. Обозначим искомое число через x и запишем условия задачи в следующем виде:


\begin{array}{clr}
A & \mbox{ принято за } & 100\%,\\[2pt]
x & \mbox{ составляет } & n\%.
\end{array}

Эту запись иногда называют процентной пропорцией, которая может быть записана так:

\frac{A}{x}=\frac{100}{n}

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:


x=\frac{A\times n}{100}\,\,\, (1.1)

Основная задача 2. Определить число, n% которого равны B.

Решение. Обозначим искомое число через x и запишем условия задачи в следующем виде:


\begin{array}{clr}
x & \mbox{ принято за } & 100\%,\\[2pt]
B & \mbox{ составляет } & n\%.
\end{array}

Имеет место следующая пропорция:

\frac{x}{B}=\frac{100}{n},

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:


x=\frac{B\times 100}{n}\,\,\, (1.2)

Основная задача 3. Определить, сколько процентов от числа A составляет число B.

Решение. Обозначим искомое число процентов через x и запишем условия задачи следующем виде:


\begin{array}{clr}
A & \mbox{ принято за } & 100\%,\\[2pt]
B & \mbox{ составляет } & x\%.
\end{array}

Имеет место следующая пропорция:

\frac{A}{B}=\frac{100}{x}\,

откуда получаем формулу для вычисления значения числа x:


x=\frac{B}{A}\times100\% \,\,\, (1.3)

Основная задача 4. Определить, сколько процентов от некоторого числа составляет число B, если n% этого числа равны A.

Решение. Обозначим искомое число процентов через x и запишем условия задачи следующем виде:


\begin{array}{clr}
A & \mbox{составляет } & n\%,\\[2pt]
B & \mbox{составляет } & x\%.
\end{array}

Имеет место следующая пропорция:

\frac{A}{B}=\frac{n}{x}

откуда получаем формулу для вычисления значения x:


x=\frac{B}{A}\times n\% \,\,\, (1.4)

Заметим, что формула 1.3 является частным случаем формулы 1.4, а основная задача 3 - частным случаем основной задачи 4 при n=100

Решение любых примеров на процентные числа базируется на решении этих четырёх основных задач.

Лекция 1: 12345 || Лекция 2 >
Елена Игнатко
Елена Игнатко
Россия, Москва
Роман Светайло
Роман Светайло
Россия, Владивосток, ФГБАОУ ВО ДВФУ, 2015