Опубликован: 24.09.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 800 / 115 | Длительность: 12:18:00
Лекция 8:

Операции с финансовыми контрактами

< Лекция 7 || Лекция 8: 123456 || Лекция 9 >
Аннотация: В реальной жизни по тем или иным причинам приходится менять условия финансовых контрактов. В этой лекции мы рассмотрим только случаи, когда изменяются суммы платежей и время их выполнения. Ценность денег предполагается фиксированной для исходного и нового контрактов на время их действия (i сложных процентов за один период). Мы предполагаем, что при изменении условий контракта должен соблюдаться принцип эквивалентности, который состоит в том, что приведенные к некоторому моменту суммы платежей по исходному и новому контрактам должны совпадать.

8.1 Эквивалентность контрактов

Рассмотрим сначала ситуацию, когда изменяются только сроки платежей. При этом возникает законный вопрос, как должны измениться суммы платежей. В данной ситуации это выражается с помощью двух простых формул.

Если срок платежа суммы s переносится на t периодов вперед, то новая сумма платежа S_{1} вычисляется по формуле:

S_{1} = S (1+i)^{t}\,\,\, (8.1)

если срок платежа сокращается на t периодов, то новая сумма платежа S_{1} вычисляется по формуле:

S_{1} = S\,(1+i)^{-t}\,\,\, (8.2)

Последние две формулы можно объединить в одну, если заметить, что степень, в которую возводится множитель наращения 1+i, равна разности между новым и старым моментами платежа. Обозначим через t старый момент платежа, T_1 - новый момент платежа. Новая сумма платежа S_{1} получается из старой s по формуле:

S_{1} = S (1+i)^{T_1-T}\,\,\, (8.3)

Рассмотрим пример, при решении которого применяется эта формула.

Пример 69. Предприниматель по договору должен выплатить банку 1 июля 2017 г. 120 000 руб. Банк даёт ссуды под 18% годовых (сложных). В договоре оговорена возможность как досрочного возврата ссуды, так и продления срока ссуды без изменения процента. Вычислим, какую сумму должен предприниматель вернуть в банк, если он решил вернуть долг: а) 1 января 2016 г.; б) 1 января 2018г.

Решение.

  • а) Так как платеж делается на 1.5 года раньше срока, то предприниматель должен внести в банк меньшую сумму: S_1=120\,000\times(1+0.18)^{-1.5}=93\,681.46\mbox{ руб.}
  • б) В этом случае платеж делается на 0.5 года позже срока, поэтому в банк придется внести сумму, большую, чем 120 000 руб.: S_1=120\,000\times(1+0.18)^{0.5}=130\,442.06\mbox{ руб.}

Рассмотрим теперь ситуацию объединения (консолидации) платежей: требуется заменить несколько платежей S_{1},\ \ldots ,\ S_{k} со сроками выплат t_{1},\ \ldots ,\ t_{k}, соответственно, одним платежом S_{0}. При этом могут возникнуть две задачи: определить величину объединённого платежа S_{0}, если он должен быть сделан в момент времени t_{0}; определить срок t_{0} платежа S_{0}. Изобразим рассматриваемую ситуацию на оси времени:


Для эквивалентности замены платежей необходимо, чтобы в момент 0 приведённая ценность платежа S_{0} была равна сумме приведённых ценностей всех платежей S_{1},\ldots S_{k}, то есть должно выполняться равенство:

S_{0}(1+i)^{-t_{0}}=\sum_{l=1}^{k}S_{l}(1+i)^{-t_{l}}\,\,\, (8.4)

Если требуется определить величину единого платежа S_{0}, то из последнего равенства получаем формулу:


S_{0}=(1+i)^{t_{0}}\sum_{l=1}^{k} S_{l}(1+i)^{-t_{l}}\,\,\, (8.5)

Чтобы определить срок t_{0} платежа S_{0}, решим уравнение (8.3) относительно t_{0}. Прологарифмируем обе части этого уравнения и, выполнив необходимые преобразования, получим формулу для t_{0}:


\ln S_{0}(1+i)^{-t_{0}} = \ln\sum_{l=1}^{k}S_{l}(1+i)^{-t_{l}};\\[4pt]
\ln S_{0}-t_{0}\ln(1+i) = \ln\sum_{l=1}^{k}S_{l}(1+i)^{-t_{l}};
\\
t_{0}= {\ln
S_{0}-\ln\sum\limits_{l=1}^{k}S_{l}(1+i)^{-t_{l}}\over\ln(1+i)}\,\,\, (8.6)

Важно понимать, что на результат вычислений по формулам (8.5) и (8.6) не может повлиять то, в каких единицах выражены суммы платежей: в рублях, тысячах или миллионах рублей. Необходимо только соблюдать следующее правило: все платежи должны быть выражены в одних и тех же единицах.

Пример 70. По контракту предприниматель должен выплатить поставщику сырья через полгода после поставки 800 00 руб., ещё через полгода - 1 500 000 руб. и ещё через полгода - 1 300 000 руб. Эти платежи решено объединить в один платеж и выплатить весь долг через год после поставки сырья. Вычислим, какую сумму надо выплатить, если на долг начисляется 16% годовых (сложных).

Решение. Чтобы применить формулу (8.5), требуется сначала вычислить моменты платежей (единицей измерения является год): t_1 = 0.5,\t_2 = t_1+0.5 =1,\  t_3 =t_2+0.5=1.5. Приводя все платежи к моменту времени 0, получаем по этой формуле:


S_0=(1+0.16)^{1}\times\left[\,800\,000(1+0.16)^{-0.5}+ \right.\\[6pt]
  \left.+ 1\,500\,000(1+0.16)^{-1}+ 1\,300\,000(1+0.16)^{-1.5}\,\right]=\\[6pt]
      =  3\,568\,646.07\mbox{ руб.}

Пример 71. Предприниматель из предыдущего примера планирует выплатить долг одним платежом, равным 3 600 000 руб. Определим, в какой момент он должен сделать такой платеж.

Решение. Как было отмечено выше, результат вычислений не зависит от того, в каких единицах выражены суммы платежей. Воспользуемся этим свойством и выразим платежи из условия примера в миллионах рублей. По формуле (8.6) находим значение t_{0}:


t_{0}={\ln 3.6 -\ln\left(0.8\times 1.16^{-0.5}+1.5\times 1.16^{-1}+1.3\times 1.16^{-1.5}\right)%
\over\ln 1.16}=\\[10pt]
     =1.06\mbox{ года}=1\mbox{ год } 22\mbox{ дня.}

Следовательно, суммы 3.6 млн руб. хватит, чтобы погасить долг не позднее чем через 1 год 22 дня после поставки сырья.

< Лекция 7 || Лекция 8: 123456 || Лекция 9 >
Елена Игнатко
Елена Игнатко
Россия, Москва
Роман Светайло
Роман Светайло
Россия, Владивосток, ФГБАОУ ВО ДВФУ, 2015