Простые проценты
2.9 Эквивалентность учетной и процентной ставок
Продолжим обсуждение формулы, которую банк использует при учёте векселя:
![P=S(1-td)\;.](/sites/default/files/tex_cache/27d24c04c834fb1f0006405d2859f96d.png)
Для банка, учитывающего вексель на сумму S, учётная стоимость векселя P является приведенной стоимостью суммы S, которую банк получит от векселедателя при погашении векселя. Погашение векселя произойдет через срок t. При обычном инвестировании ситуация противоположная: известна начальная сумма P, на которую начисляется процент r, а конечная сумма S вычисляется по формуле
![S=P(1+tr)\;.](/sites/default/files/tex_cache/c561b88514ffcd829409f7efe239c864.png)
Предположим, что t=1, то есть рассматривается период, равный одному году. Тогда имеем следующие формулы для процентных ставок начисления и учёта:
![r=\displaystyle\frac{S-P}{P}\;,\
d=\displaystyle\frac{S-P}{S}\,\,\, (2.7)](/sites/default/files/tex_cache/bee634e0ace854c864e6795d0a63e559.png)
Преобразуем формулы (2.7) к виду:
![\displaystyle\frac{S}{P}\,=\,1+r\;,\
\displaystyle\frac{P}{S}\,=\,1-d\,\,\, (2.8)](/sites/default/files/tex_cache/e142cee5b177693390a2c7bd231a48f9.png)
Из формул (2.8) получаем формулы, связывающие значения r и d (за один год), которые часто называют условиями эквивалентности учётной и процентной ставок:
![\begin{equation}
r=\displaystyle\frac{d}{1-d}\;,\
d=\displaystyle\frac{r}{1+r}\,\,\, (2.9)
\end{equation}](/sites/default/files/tex_cache/37169c37dd9bd6fbb3d85c61cada9763.png)
Графическое изображение зависимостей, выраженных формулами (2.9), приведено на рис. 3 и рис. 4.
Из формул (2.9) следует ещё одна интерпретация процента учета d. Пусть сумма S=1 хранится 1 год на депозите при процентной ставке r. В конце года сумма процентов на S будет равна r. Приведенное значение суммы процентов r будет равно
![\displaystyle\frac{r}{1+r}\,=\,d\,\,\, (2.10)](/sites/default/files/tex_cache/c36d1c37292e322ee1be35be7bf86c1a.png)
Следовательно, можно считать, что дисконт d является суммой процентов, которые выплачиваются не в конце, а в начале периода.
Таким образом, различие между процентной и учетной ставками в том, что они оценивают один и тот же поток платежей относительно разных моментов времени. Для процентной ставки это начало периода, для учетной - конец периода. Рассмотрим пример.
Пример 31. Вычислим приведённую стоимость 10 000 руб., получаемых через год: а) при процентной ставке ; б)при учетной ставке
.
Решение. При процентной ставке получаем:
![P=\displaystyle\frac{S}{1+rt}\,=\,\displaystyle\frac{10\,000} {1+0.1}\,=\,9\,090.91
\mbox{ руб.}](/sites/default/files/tex_cache/e2c3c8779a6d1acd85eb2ea7019ac63c.png)
При при учетной ставке получаем:
![P=S(1-dt)\,=\,10\,000(1-0.1)\,=\,9\,000\mbox{ руб. }](/sites/default/files/tex_cache/437685259c02664c9d7043ee63e38736.png)
Необходимо помнить, что эквивалентность процентной и учетной ставок устанавливается только для определенного периода времени t. Формулы (16) получены при . В общем случае они принимают вид:
![r=\displaystyle\frac{d}{1-dt}\;,\
d=\displaystyle\frac{r}{1+rt}\,\,\, (2.11)](/sites/default/files/tex_cache/956a1dc9efc008acb0d79de9a3dd54e1.png)
2.10 Влияние инфляции на ставку процента
Интересно рассмотреть одновременное влияние процессов дисконтирования по ставке r и инфляции по ставке i за один период. Инфляция, определяемая на микроэкономическом уровне как общий уровень роста цен типичной потребительской корзины (CPI - Consumer Price Index), означает, что на сегодняшние деньги вы сможете купить в 1+i раз меньше товара в конце периода. В результате современная сумма P эквивалентна по покупательной способности сумме S, определяемой формулой:
![S={P(1+i)}](/sites/default/files/tex_cache/73b86a5ce42fdb23f40dd66a3093ea41.png)
В этих обстоятельствах величину наращенного процента можно рассчитывать как в реальных деньгах - номинальный процент, так и по покупательной способности (с поправкой на инфляцию) - реальный процент.
Ясно, что при наличии инфляции ставка номинального процента больше ставки реального процента. Номинальный процент должен использоваться в вычислениях в реальных терминах (без поправки на инфляцию). Реальный процент используется, если данные специальным образом очищены от влияния инфляции.
Пусть сначала r - номинальный процент. Тогда после дисконтирования получаем:
![P={S\frac{1+r}{1+i}}={S\left(1+\frac{r-i}{1+i}\right)}\;.](/sites/default/files/tex_cache/235f2b988c3bd6f0ab592fb10c0f6dca.png)
Если величина инфляции невелика, то , откуда верна следующая приближенная формула:
![P=S(1+r-i)](/sites/default/files/tex_cache/154505740211fcff92b9ff6eb798f3ea.png)
Следует заметить, что в условиях, характерных для России последнего десятилетия XX века, когда величина i менялась порой от тысяч до многих десятков процентов в год, пользоваться последней формулой было нельзя.
При переходе к рассмотрению реального процента следует учесть, что величина инфляции - ожидаемая величина, поэтому величина
не может определяться нормативно - она получается в результате построения модели поведения инвестора. Простейшая модель Фишера утверждает, что номинальный процент r связан с реальным процентом
с помощью формулы:
![1+r=(1+r_1)(1+i)\,\,\, (2.12)](/sites/default/files/tex_cache/acf13634938173e501fa82e66c0882d4.png)
Согласно этой модели, норма процента полностью встроена в ценовой механизм. Номинальный процент включает в себя инфляционную премию, достаточную для того, чтобы кредитор получил компенсацию за уменьшенную покупательную способность будущих денег. Важно подчеркнуть, что номинальный процент строится на прогнозе, а не на историческом анализе инфляции за прошедший период. Фактические величины инфляции за предыдущий период играют роль для оценки инфляции на следующий период, но вовсе не основную.
Имеются и более сложные модели, учитывающие, например, разницу в ставках налогообложения - в этом случае разные группы инвесторов будут описываться различными моделями.
При высокой инфляции и отсутствии на рынке инструментов с достаточной номинальной доходностью получаем ситуацию с отрицательной реальной нормой процента, имевшую место в России, например, в 1993 г. (см. дискуссию в журнале "Экономика и математические методы" за 1994 г.). Рассмотрим два простых численных примера.
Пример 32. В начале 1996 г. ожидаемая годовая инфляция в России находилась на уровне . Годовой сертификат Сбербанка на сумму 1 млн. руб. давал номинальную доходность
(это то, что было прямо написано на сертификате). Посчитаем реальную доходность сертификата.
Решение. Для вычисления реального процента применим формулу (2.12):
![r_1=\frac{r-i}{1+i}=\frac{0.90-0.50}{1+0.50}=0.267=26.7\%](/sites/default/files/tex_cache/13b75c4296d524b0cb7d7b5eb07c966d.png)
Заметим, что для реального процента в надежном банке это очень много, что означает встроенность в предлагаемый процент рисковой премии.
Пример 33. В рассматриваемый год ожидаемая инфляция составляет 20%. Определим, какую номинальную годовую процентную ставку следует установить по вкладам в банке, чтобы реальная годовая ставка равнялась 5%.
Решение. Значение номинальной годовой процентной ставки найдем из формулы (2.12):
![r=(1+r_1)(1+i)-1=(1+0.05)(1+0.20)-1=0.26=26\%](/sites/default/files/tex_cache/bfd60dce6914e4251ca6fbba3f8554fc.png)
Список ключевых терминов
Вексель - ценная бумага, являющаяся простейшим типом долгового обязательства.
Дисконт - процентный доход, вычитаемый из ссуды в момент её выдачи.
Инфляция - снижение покупательной способности денег.
Номинальная ставка процента - ставка процента, зафиксированная в финансовом договоре.
Приведённая ценность - ценность потока платежей в определённый момент времени с учётом дисконтирования.
Простой процент - схема начисления процентов, при которой базой в течении всего рассматриваемого периода является исходная сумма.
Процентный пункт - единица, применяемая для сравнения величин, выраженных в процентах.
Реальная ставка процента - процентная ставка с учётом инфляции.
Учёт векселя - покупка банком или специализированными кредитными учреждениями векселя до наступления срока его оплаты.
Учётная ставка - процентная ставка, применяемая при учёте векселя.
Эквивалентные контракты - контракты, имеющие равные приведённые ценности потоков платежей по этим контрактам.
Краткие итоги
В лекции рассмотрено применение простого процента в задачах оценивания следующих финансовых объектов и операций с ними: банковский депозит, вексель, финансовый контракт.