Российский государственный гуманитарный университет
Опубликован: 13.07.2022 | Доступ: свободный | Студентов: 262 / 9 | Длительность: 11:54:00
Специальности: Программист
Лекция 3:

Представление графической информации

Например, фигура, полученная на шаге 4, состоит из 256 отрезков, а описывающая ее строка - из 596 символов.

Если фигуру можно разбить на N частей, каждая из которых может быть получена из целой фигуры, конгруэнтной исходной, преобразованием подобия с коэффициентом r, то размерность подобия D фигуры удовлетворяет соотношению N * r^D = 1, и, следовательно,

D=\frac{\ln N}{\ln r^{_-1}}}

Найдем, например, размерность подобия кривой Коха. На каждом шаге итерации фигуру можно разбить на 4 части, каждая из которых конгруэнтна фигуре, подобной всей фигуре, полученной на предыдущем шаге, с коэффициентом подобия \frac{1}{3}. Поэтому размерность подобия кривой Коха находится следующим образом:

\frac{\ln 4}{\ln 3}\approx 1,26

В общем случае размерность подобия фрактальных фигур, в отличие от "обычных", также не является целым числом. Разобьем, например, отрезок на n равных частей, где n > 0. Каждая часть подобна исходной фигуре с коэффициентом подобия n^{- 1}. Поэтому размерность подобия отрезка равна 1. Аналогично, разобьем квадрат на n одинаковых квадратов. Тогда n = k^2 для некоторого натурального k. При этом каждый из n квадратов будет подобен исходному квадрату с коэффициентом подобия k^{- 1}. Поэтому размерность подобия квадрата равна \frac{\ln k^2}{\ln k}=2.

Пример 26. Рассмотрим фрактал "дерево" (рис. 3.29). Его описание в виде L-системы имеет вид:

угол: \frac{\pi}{7}

аксиома: F;

правило: F -> F[+F]F[-F]F.

На первом шаге итерации сначала проводится отрезок заданной длины; затем выполняются действия, описанные в квадратных скобках, т. е. в "стеке" - делается поворот направо на угол \frac{\pi}{7} и проводится еще один отрезок; после этого черепаха возвращается в положение, которое у нее было перед "стеком", и проводится следующий отрезок; затем выполняется поворот налево на угол \frac{\pi}{7} и снова проводится отрезок; после этого черепаха возвращается к положению перед последним "стеком" и проводится еще один отрезок. На рис. 3.29 показаны результаты построения дерева на нулевом (a), первом (b) и втором (c) шагах итерации.

 Дерево. Итерация (a) 0; (b) 1; (c) 2

Рис. 3.29. Дерево. Итерация (a) 0; (b) 1; (c) 2

Фрактал "дерево" получается при неограниченном увеличении числа итераций. Размерность подобия для него имеет вид:

\frac{\ln 5}{\ln 3}\approx 1,46

Пример 27. Рассмотрим описание в виде L-системы еще одного хорошо известного фрактала - салфетки Серпинского (рис. 3.30). Имеем:

угол: \frac{\pi}{3};

аксиома: FXF--FF-FF;

правила:

F \to FF;\\
X\to --FXF++FXF++FXF--.

На рис. 3.30 показаны фигуры, соответствующие нулевой, первой и пятой итерациям.

Салфетка Серпинского. Итерация (a) 0 (вверху) и 1; (b) 5

Рис. 3.30. Салфетка Серпинского. Итерация (a) 0 (вверху) и 1; (b) 5
Острова Коха и кривая Гильберта

Рассмотрим примеры представления фракталов с помощью геометрического описания преобразования отрезка на шаге итерации. Иногда указывается преобразование не для отрезка, а для ломаной, как при построении кривой Гильберта (см. ниже).

Пример 28. Построим два троичных острова Коха. Начальной фигурой для каждого острова является правильный треугольник; фигура на шаге n получается из фигуры, построенной на шаге n - 1, с помощью преобразования каждого отрезка AB этой фигуры в ломаную ACDEB с равными по длине четырьмя звеньями по правилу, показанному на рис. 3.31, где \widehat{ACD}=\widehat {DEB}=120^\circ

Преобразование отрезка для троичного острова Коха

Рис. 3.31. Преобразование отрезка для троичного острова Коха

Зная координаты концов отрезка AB, нетрудно найти координаты вершин этой ломаной. Обозначим через O начало координат. Положим:

v=\frac13AB=(x_v, y_v)

и

u-(y_v-x_v)

Очевидно, что вектор u перпендикулярен вектору v. Для радиус-векторов вершин C, D и E ломаной имеем:

OC=OA+v;\\
OD=\frac12(OA+OB)+\frac{\sqrt{3}}{2}u;\\
OE=OC+v

Острова отличаются друг от друга только направлением первого угла поворота, влево или вправо (рис. 3.32 (a-b)). Первый троичный остров называется еще снежинкой Коха.

 Троичные острова Коха, n = 4: (a) первый; (b) второй

Рис. 3.32. Троичные острова Коха, n = 4: (a) первый; (b) второй

Очевидно, что представление троичного острова в виде L-системы отличается от представления кривой Коха только аксиомой.

Пример 29. Рассмотрим четверичный остров Коха. Исходной фигурой для построения является квадрат. На шаге итерации каждый отрезок преобразуется в ломаную, состоящую из 8 равных звеньев (рис. 3.33).

 Преобразование отрезка четверичного острова Коха

Рис. 3.33. Преобразование отрезка четверичного острова Коха