Исчисление высказываний

Теорема 21 (теорема компактности для исчисления высказываний). Пусть — множество формул, всякое конечное подмножество которого совместно. Тогда и все множество совместно.

Как мы знаем, несовместность равносильна противоречивости, а вывод противоречия по определению может использовать лишь конечное число формул.

Поскольку в формулировке теоремы компактности нет упоминания об исчислении высказываний (речь идет лишь об истинности формул, а не о выводимости), возникает вопрос, нельзя ли ее доказать непосредственно.

29. Дайте прямое доказательство теоремы компактности для случая, когда переменных в множестве конечное число. (Указание: в этом случае любое несовместное множество имеет несовместное подмножество мощности не больше .)

Для случая счетного числа переменных можно воспользоваться компактностью (в топологическом смысле слова) канторовского пространства. Его элементами являются бесконечные последовательности нулей и единиц. Если две последовательности отличаются в -й позиции, а все предыдущие члены совпадают, то расстояние между ними считается равным . Это метрическое пространство компактно.

Пусть содержит счетное число переменных. Последовательность значений переменных будем рассматривать как точку канторовского пространства; формуле соответствует область, состоящая из точек, где формула истинна. Поскольку формула содержит лишь конечное число переменных, эта область является замкнутым и открытым множеством одновременно. Пусть имеется множество формул, любое конечное подмножество которого совместно. Это значит, что соответствующие формулам подмножества канторовского пространства образуют, как говорят, центрированную систему (любое конечное их число имеет общую точку). А в компактном пространстве любое центрированное семейство замкнутых множеств имеет общую точку (иначе их дополнения образуют открытое покрытие, у которого нет конечного подпокрытия). Эта их общая точка и будет набором значений, на котором все формулы истинны.

То же самое рассуждение годится и для несчетного множества переменных, но тогда возникает несчетное произведение двухточечных пространств, которое является топологическим пространством (но не метрическим); надо заметить, что это пространство компактно по теореме Тихонова, после чего наше рассуждение проходит.

Для счетного набора переменных теорема компактности связана с так называемой леммой Кенига. Конечные последовательности нулей и единиц (включая пустую последовательность) мы называем двоичными словами. Двоичным деревом мы называем множество двоичных слов, которое вместе со всяким словом содержит все его начала (начальные отрезки). Бесконечной ветвью двоичного дерева мы называем бесконечную последовательность нулей и единиц, любое конечное начало которой принадлежит .

Теорема 22 (лемма Кенига). Любое бесконечное дерево имеет бесконечную ветвь.

Говоря о бесконечности дерева, мы имеем в виду, что соответствующее множество бесконечно. Отсюда следует, что оно содержит слова сколь угодно большой длины. Пусть — счетное множество переменных, которые принимают значения или . Для каждого рассмотрим формулу , которая утверждает, что слово принадлежит дереву (это возможно, так как любая булева функция выразима формулой). Поскольку — дерево, влечет при . Любое конечное множество формул вида равносильно, таким образом, одной формуле с максимальным и потому совместно. Следовательно, и множество всех формул совместно, и выполняющий набор определяет бесконечную ветвь.

(Конечно, мы "бьем из пушек по воробьям": достаточно индукцией по строить слово длины , которое имеет бесконечное число продолжений в дереве .)

Обычно утверждение леммы Кенига формулируют так: если колония бактерий, возникшая из одной бактерии, никогда не вымирает полностью, то существует бесконечная последовательность бактерий, каждая следующая из которых получается при делении предыдущей. [Аналогичная формулировка про людей осложняется возможностью клонирования, наличием двух полов и проблемами политкорректности.]