Исчисление высказываний

Теорема 18 (О полноте ИВ). Всякая тавтология есть теорема исчисления высказываний.

Мы предложим несколько альтернативных доказательств этой теоремы. Но прежде всего мы должны приобрести некоторый опыт построения выводов и использования аксиом.

Лемма 1. Какова бы ни была формула , формула является теоремой.

Докажем лемму, предъявив вывод формулы в исчислении высказываний.

1. [аксиома 2 при , , ];
2. [аксиома 1];
3. [из 1 и 2 по правилу MP];
4. [аксиома 1];
5. [из 3 и 4 по правилу MP].

Как видно, вывод даже такой простой тавтологии, как , требует некоторой изобретательности. Мы облегчим себе жизнь, доказав некоторое общее утверждение о выводимости.

Часто мы рассуждаем так: предполагаем, что выполнено какое-то утверждение , и выводим различные следствия. После того как другое утверждение доказано, мы вспоминаем, что использовали предположение , и заключаем, что мы доказали утверждение . Следующая лемма, называемая иногда "леммой о дедукции", показывает, что этот подход правомерен и для исчисления высказываний.

Пусть — некоторое множество формул. Выводом из называется конечная последовательность формул, каждая из которых является аксиомой, принадлежит или получается из предыдущих по правилу MP. (Другими словами, мы как бы добавляем формулы из к аксиомам исчисления высказываний — именно как формулы, а не как схемы аксиом.) Формула выводима из , если существует вывод из , в котором она является последней формулой. В этом случае мы пишем . Если пусто, то речь идет о выводимости в исчислении высказываний, и вместо пишут просто .

Лемма 2 (о дедукции). Пусть — множество формул. Тогда тогда и только тогда, когда .

В одну сторону утверждение почти очевидно: пусть . Тогда и . (Для краткости мы опускаем фигурные скобки и заменяем знак объединения запятой.) По определению , откуда по MP получаем .

Пусть теперь . Нам надо построить вывод формулы из . Возьмем вывод формулы из . Припишем ко всем формулам этого вывода слева посылку :

Эта последовательность оканчивается на . Сама по себе она не будет выводом из , но из нее можно получить такой вывод, добавив недостающие формулы, и тем самым доказать лемму о дедукции.

Будем добавлять эти формулы, двигаясь слева направо. Пусть мы подошли к формуле . По предположению формула либо совпадает с , либо принадлежит , либо является аксиомой, либо получается из двух предыдущих по правилу MP. Рассмотрим все эти случаи по очереди.

(1) Если есть , то очередная формула имеет вид . По лемме 1 она выводима, так что перед ней мы добавляем ее вывод.

(2) Пусть принадлежит . Тогда мы вставляем формулы и (аксиома 1). Применение правила MP к этим формулам дает , что и требовалось.

(3) Те же формулы можно добавить, если является аксиомой исчисления высказываний.

(4) Пусть, наконец, формула получается из двух предыдущих формул по правилу MP. Это значит, что в исходном выводе ей предшествовали формулы и . Тогда в новой последовательности (с добавленной посылкой ) уже были формулы и . Поэтому мы можем продолжить наш -вывод, написав формулы

(аксиома 2);

(modus ponens);

(modus ponens).

Итак, во всех четырех случаях мы научились дополнять последовательность до вывода из , так что лемма о дедукции доказана.

20. Докажите, что для любых формул формула

выводима в исчислении высказываний. (Указание: используйте лемму о дедукции и тот факт, что .)

21. Докажите, что если и , то . (Это свойство иногда называют "правилом сечения" (cut);говорят, что формула "отсекается" или "высекается". Сходные правила играют центральную роль в теории доказательств, где формулируется и доказывается "теорема об устранении сечения" для различных логических систем.)

22. Добавим к исчислению высказываний, помимо правила modus ponens, еще одно правило, называемое правилом подстановки. Оно разрешает заменить в выведенной формуле все переменные на произвольные формулы (естественно, вхождения одной переменной должны заменяться на одну и ту же формулу). Покажите, что после добавления такого правила класс выводимых формул не изменится, но теорема о дедукции перестанет быть верной.

Заметим, что мы пока что использовали только две первые аксиомы исчисления высказываний. Видно, кстати, что они специально подобраны так, чтобы доказательство леммы о дедукции прошло.

Другие аксиомы описывают свойства логических связок. Аксиомы и говорят, какие следствия можно вывести из конъюнкции ( и ). Напротив, аксиома 5 говорит, как можно вывести конъюнкцию. Из нее легко следует такое правило: если и , то (применяем эту аксиому и дважды правило MP). Часто подобные правила записывают так:

(над чертой пишут "посылки" правила, а снизу — его "заключение", вытекающее из посылок).