Исчисление высказываний
Второе доказательство теоремы о полноте
Это доказательство, в отличие от предыдущего, обобщается на более сложные случаи (исчисление предикатов, интуиционистское исчисление высказываний).
Начнем с такого определения: множество формул
называется совместным,если существует набор значений
переменных, при которых все формулы из
истинны.
Заметим, что формула
является тавтологией тогда и
только тогда, когда множество, состоящее из единственной формулы
, не является совместным. Для случая одной формулы
есть специальный термин: формула
выполнима,
если существуют значения переменных, при которых она истинна, то есть
если множество
совместно. Тавтологии — это формулы,
отрицания которых не выполнимы.
Множество формул называется противоречивым,
если из него одновременно выводятся формулы
и
.
Мы знаем, что в этом случае из него выводятся вообще все формулы.
(В противном случае
называется непротиворечивым.)
Теорема 19 (корректность исчисления высказываний, вторая форма). Всякое совместное множество формул непротиворечиво.
В самом деле, пусть совместное множество противоречиво.
Так как оно совместно, существуют значения переменных, при которых
все формулы из
истинны. С другой стороны, из
выводится некоторая формула
и ее отрицание. Может ли так быть?
Оказывается, что нет. Мы уже видели, что всякая выводимая
формула истинна при всех значениях переменных (является
тавтологией). Справедливо и несколько более общее утверждение:
если и при некоторых значениях переменных
все формулы из
истинны, то и формула
истинна при этих
значениях переменных. (Как и раньше, это легко доказывается индукцией по
построению вывода
из
.)
В нашей ситуации это приводит к тому, что на выполняющем наборе
значений переменных для должны быть истинны обе формулы
и
, что, разумеется, невозможно.
Мы называем это утверждение другой формой теоремы о корректности
исчисления высказываний, поскольку из него формально можно
вывести, что всякая теорема является тавтологией: если —
теорема, то множество
противоречиво (из него
выводятся
и
), потому несовместно, значит,
всегда ложна, поэтому
всегда истинна.
Теорема 20 (полнота исчисления высказываний, вторая форма). Всякое непротиворечивое множество совместно.
Нам дано непротиворечивое множество , а надо найти такие
значения переменных, при которых все формулы из
истинны. (Вообще говоря, множество
может быть
бесконечно и содержать бесконечное число разных переменных.)
Пусть есть какая-то переменная , встречающаяся
в формулах из семейства
. Нам надо решить, сделать ли
ее истинной или ложной. Если оказалось так, что из
выводится формула
, то выбора нет: она
обязана быть истинной в тех наборах, где формулы из
истинны
(как мы видели при доказательстве корректности). По тем же
причинам, если из
выводится
, то в
выполняющем наборе переменная
обязательно будет ложной.
Если оказалось так, что для любой переменной либо она сама,
либо ее отрицание выводятся из
, то выполняющий набор
значений определен однозначно, и надо только проверить, что он
действительно будет выполняющим. А если для каких-то
переменных нельзя вывести ни их, ни их отрицание, то мы пополним
наш набор
так, чтобы они, как теперь модно говорить,
"определились".
Проведем это рассуждение подробно.
Рассмотрим все переменные, входящие в какие-либо формулы из
множества ; обозначим множество этих переменных
через
. Зафиксируем это множество и до конца доказательства
теоремы о полноте будем рассматривать только формулы с переменными
из множества
, не оговаривая этого особо.
Назовем непротиворечивое множество полным,
если для любой формулы
имеет место либо
,
либо
(одновременно этого быть не может, так
как
непротиворечиво).
Утверждение теоремы о полноте очевидно следует из двух лемм:
Лемма 1. Всякое непротиворечивое множество
содержится в непротиворечивом полном множестве
.
Лемма 2. Для всякого непротиворечивого полного
множества существует набор значений переменных
(из
, напомним), при котором все формулы из
истинны.
Доказательство леммы 1. Основную роль здесь играет такое
утверждение: если — непротиворечивое множество, а
— произвольная формула, то хотя бы одно из множеств
и
непротиворечиво. В самом деле, если оба множества
и
противоречивы, то
и
,
но множество
предполагалось непротиворечивым.
Если множество переменных конечно или счетно, то
доказательство леммы
легко завершить: множество всех формул
тогда счетно, и просматривая их по очереди, мы можем добавлять к
либо саму формулу, либо ее отрицание, сохраняя
непротиворечивость. Получится, очевидно, полное множество.
Чуть менее очевидна его непротиворечивость: оно было
непротиворечиво на каждом шаге, но почему предельное
множество (объединение возрастающей последовательности)
будет непротиворечиво? Дело в том, что в выводе двух
противоречащих друг другу формул может быть задействовано
только конечное число формул из
(по определению
выводимости: вывод есть конечная последовательность формул).
Поэтому все эти формулы должны появиться на некотором
конечном шаге конструкции, а это невозможно (на всех
шагах множество непротиворечиво).
Для случая произвольного набора переменных рассуждение можно
завершить ссылкой на лемму Цорна: рассмотрим частично
упорядоченное множество, элементами которого будут
непротиворечивые множества формул, а порядком — отношение "быть подмножеством". Рассуждение предыдущего абзаца
показывает, что всякая цепь в этом множестве имеет верхнюю
границу (объединение линейно упорядоченного по включению
семейства непротиворечивых множеств является непротиворечивым
множеством). Следовательно, для любого непротиворечивого
множества найдется содержащее его максимальное непротиворечивое
множество. А оно обязано быть полным (иначе его можно расширить,
добавив
или
).
Лемма 1 доказана.
Доказательство леммы 2. Пусть — непротиворечивое
полное множество. Тогда для каждой переменной (из множества
)
ровно одна из формул
и
выводима
из
. Если первая, будем считать переменную
истинной, если вторая —
ложной. Тем самым появляется некоторый набор
значений
переменных, и надо только проверить, что любая формула из
при таких значениях переменных истинна. Это делается
так: индукцией по построению формулы
мы доказываем, что
![\begin{align*}
A\text{ истинна на наборе }\nu&\Rightarrow\Gamma\vdash A,\\
A\text{ ложна на наборе }\nu&\Rightarrow\Gamma\vdash\lnot A.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/48f67e5664de780d9267d08b1a7ff5bb.png)
![A](/sites/default/files/tex_cache/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![A](/sites/default/files/tex_cache/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![(B\land C)](/sites/default/files/tex_cache/fe1f12b05948803eff10cb06d30447ad.png)
![B](/sites/default/files/tex_cache/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png)
![C](/sites/default/files/tex_cache/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png)
![B](/sites/default/files/tex_cache/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png)
![C](/sites/default/files/tex_cache/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png)
![\nu](/sites/default/files/tex_cache/4fdefba26320686bb2bd0579a0df421c.png)
![\Gamma\vdash B](/sites/default/files/tex_cache/209e989a13dc3c8a4905a664732d1b59.png)
![\Gamma\vdash C](/sites/default/files/tex_cache/b8c5690df540d8e7fd6fafbfc474c239.png)
![\Gamma\vdash (B\land C)](/sites/default/files/tex_cache/63b80fbbce936af9f53f1d04680c659e.png)
![\Gamma\vdash A](/sites/default/files/tex_cache/82d9cab2bb0144e666b55fffe8723851.png)
![B](/sites/default/files/tex_cache/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png)
![C](/sites/default/files/tex_cache/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png)
![\Gamma\vdash B](/sites/default/files/tex_cache/209e989a13dc3c8a4905a664732d1b59.png)
![\Gamma\vdash \lnot C](/sites/default/files/tex_cache/54e293e2542d9076a8137d459e1bce9f.png)
![\Gamma\vdash\lnot(B\land C)](/sites/default/files/tex_cache/8585a9a8e78ba5d0a1494b1e549e6c4f.png)
![\Gamma\vdash\lnot A](/sites/default/files/tex_cache/73d227c358b53f6f344c1b39c6fd2459.png)
Мы доказали, что всякое непротиворечивое множество формул
совместно. Отсюда легко следует, что всякая тавтология
является теоремой. В самом деле, если — тавтология,
то множество
несовместно, поэтому из
выводится противоречие, поэтому
, и
по закону снятия двойного отрицания
.
Кроме того, теорема о полноте во второй формулировке имеет такое очевидное следствие: