Лекция 12: Оптимизация при наличии ограничений. Ограничения в виде равенств. Ограничения в виде неравенств. Выпуклость и вогнутость. Комплексный метод

4. Комплексный метод

Трудности, встречающиеся при попытке использовать существовавшие ранее методы поиска, подтолкнули Бокса в 1964 году к созданию своего метода. По существу, он является модификацией симплексного метода Нелдера - Мида, однако позволяет учитывать ограничения. Бокс назвал его комплексным методом. Решаемая задача состоит в минимизации функции f(х) = f(x₁, х₂, ..., х_n), где определяется явными ограничениями

( 4.1)

Если целевая функция f(х) выпукла и функции g_i(x) тоже выпуклы, то задача будет иметь единственное решение. Значения l_j и u_j являются нижней и верхней границами переменных. Если в конкретной задаче заданные переменные теоретически не имеют ограничений, то предположение о наличии у них "безопасных" границ, т.е. границ, включающих оптимум, позволит применить комплексный метод.

Данный метод является итерационным. В нем предполагается, что известны значения n и m, l_j и u_j и начальная точка x₁, удовлетворяющая всем ограничениям (см. неравенства (4.1) и (4.2)). В первую очередь необходимо выбрать к точек, которые удовлетворяют ограничениям, а также вычислить целевую функцию во всех k точках. Множество этих точек называется комплексом. Бокс обнаружил, что k должно быть больше (n + 1) - числа точек, используемых в симплексном методе Нелдера-Мида и положил k = 2n.

Как упоминалось выше, предполагается, что точка k₁, удовлетворяющая всем ограничениям, задана. Остальные точки, удовлетворяющие неравенству (4.1), могут быть выбраны следующим образом:

( 4.3)

для j = 1,2,...,n и i = 2,3,...,k, где r - псевдослучайная равномерно распределенная переменная в интервале (0;1).

Точки, выбираемые в соответствии с уравнением (4.3) для данного j будут автоматически удовлетворять неравенству (4.1). Если эти точки удовлетворяют также неравенству (4.2), то они принимаются в качестве начальных точек комплекса. Если точка, выбранная в соответствии с уравнением (4.3), не удовлетворяет неравенству (4.2), то она смещается на половину расстояния до центра тяжести множества уже принятых точек, т.е. формируется точка

( 4.4)

( 4.5)

Если точка в соотношении (4.4) все еще не является допустимой, то описанная соотношением (4.3) процедура повторяется вновь до тех пор, пока точка не станет допустимой. Если функция g_i(x) выпукла, то в конце концов ограничения будут выполняться. Конечно, поскольку точка x₁ находится внутри области ограничений, то комплекс будет состоять из допустимых точек.

Удобно упорядочить точки комплекса в соответствии со значениями функции. Процедуру инициализации комплекса можно описать с помощью блок-схемы (рис. 12.5).

Теперь мы подошли к итерационной процедуре комплексного метода, в которой производится поиск минимума перемещением по направлению к минимуму внутри области ограничений. Для этой процедуры необходимы следующие шаги:

1. Найти точку с наибольшим значением функции x_h и найти центр x₀ остальных (k - 1) точек.

2. Попытаемся сместиться от точки x_h и получить при этом точку x_r, отражением точки x_h относительно точки x₀, используя коэффициент отражения , что можно записать как

( 4.6)

3. Проверить, является ли точка x_r допустимой.

а). Если точка x_r не является допустимой и не выполняется ограничение для l_j, то полагаем x_rj = l_j + 10^-6 ; если не выполняется ограничение для u_j то полагаем x_rj = u_j - 10^-6

б). Если не выполняются ограничения, то точку x_r, перемещают на половину расстояния между x_r и центром x₀, т.е.

( 4.7)

Затем производится повторная проверка на допустимость и шаг 3 повторяется до тех пор, пока не будет получена допустимая точка.

4. Если точка x_r является допустимой, то вычисляется значение функции f(x_r) и сравнивается с f(x_k) - наибольшим значением функции.

Если f(х_r) > f(x_k), т.е. "хуже", чем наибольшее значение, полученное ранее, то точка x_r смещается к центру x₀ на половину расстояния между ними, т.е.

5. Если f(x_r) < f(х_k), то точка x заменяется на точку x_r, затем точки и значения функции комплекса снова упорядочиваются.

6. Вычисляются две величины, использующиеся при проверке сходимости метода: среднее квадратическое отклонение для k значений функции и максимальное расстояние dm между двумя точками комплекса. Первая величина вычисляется как

( 4.8)

( 4.9)

( 4.10)

7. Величины и dm проверяются на сходимость. Если обе эти величины достаточно малы, то процедура поиска минимума заканчивается. В противном случае необходимо вернуться на шаг 1 и повторить процедуру.

Рис. 12.5.

Процедура сходится, когда комплекс "стягивается" до такого размера, при котором он помещается в небольшой окрестности точки минимума. Проверка сходимости будет успешно заканчиваться на этом шаге, поскольку разница в значениях функции будет также мала.

Bы6op k = 2n и является эмпирическим правилом, предложенным Боксом. Первое значение частично предотвращает преждевременное сжатие комплекса. Коэффициент отражения позволяет комплексу расширяться и перемещаться в нужном направлении. Перемещения на половину расстояния от начальной точки к центру сжимают комплекс. Поэтому комплекс может перемещаться внутри допустимой области вдоль границ и огибать углы в местах пересечения ограничений.

Способ выбора начального комплекса означает, что легко может быть сделано несколько перемещений. Очевидно, что будет сделано более одного перемещения даже в том случае, когда метод преждевременно сходится по причине какой-нибудь особенности используемых точек. Конечно, разумно получить некоторую информацию о значении минимума функции, чтобы для реально минимизируемой функции минимум был бы близок к нулю. Это позволит избежать любых осложнений в процессе вычисления погрешности при проверке на сходимость. Если из девяти цифр значения функции восемь первых цифр совпадают, то можно столкнуться с большими сложностями при определении точности и даже получить отрицательную разность при определении погрешности (это как раз будет машинная точность, но все равно в процессе вычисления появятся погрешности). Итак, установлено, что минимум функции действительно равен нулю.