Лекция 12: Оптимизация при наличии ограничений. Ограничения в виде равенств. Ограничения в виде неравенств. Выпуклость и вогнутость. Комплексный метод
1. Ограничения в виде равенств
Рассмотрим задачу минимизации функции двух переменных
z =f(x,y),
где на x и y наложено ограничение, задаваемое уравнением
![]() |
( 1.1) |
Вообще, уравнение g(x, у) = 0 можно разрешить относительно y как функцию от x т.е. у = h(x). Конечно, на практике может оказаться трудным или даже невозможным найти явный вид функции h(x). При выполнении определенных условий дифференцируемости производная функции h(x)
![]() |
( 1.2) |
![]() |
( 1.3) |

![]() |
( 4.1) |
Соотношения (1.1) и (1.2) могут быть решены с целью получения значений х*, у* в точке минимума.
Этот результат может быть представлен в иной форме. Если положить
![]() |
( 1.5) |

Получить эти три необходимых условия можно, используя функцию Лагранжа
![]() |
( 1.6) |

![]() |
( 1.7) |
Это система трех уравнений, решениями которой являются значения х*, у* и - в точке минимума.
Необходимые условия минимума (1.7) могут быть обобщены для функций n переменных при наличии m ограничений в виде равенств. Рассмотрим задачу минимизации функции
z=f(x)=f(x1, x2, ..., xn),
где на переменную x наложены ограничения
![]() |
( 1.8) |
Ограничения можно использовать для того, чтобы выразить m переменных (без ограничения общности их можно обозначить x1, x2, ..., xm ) через
остальные (n - m) переменных, которые можно рассматривать
как независимые переменные. В точке минимума при наличии ограничений для всех h,
удовлетворяющих условию gi(x+h)–gi(x)=0 при i = 1, ..., m.
Тогда c точностью до первого порядка hj будем иметь


Это условие можно записать иначе:
![]() |
( 1.9) |

Поскольку hm+1,hm+2,...,hn являются независимыми приращениями, коэффициенты при них должны быть равны нулю, т.е.

Приращения h1,h2,...,hm не
являются независимыми, и их можно положить равными нулю выбором множителей Лагранжа
в уравнении (1.9). Таким образом,
мы выбираем множители такими, чтобы

Тогда окончательно будем иметь
![]() |
( 1.10) |
Следовательно, если определить функцию Лагранжа в виде
![]() |
( 1.11) |
![]() |
( 1.12) |
![]() |
( 1.13) |
Отметим, что для допустимых значений x (таких, которые удовлетворяют ограничениям) справедливо соотношение

В точке минимума при наличии ограничений на значение х* можно записать, что , где h
удовлетворяет уравнению gi(x*+h)=0 для всех i.
Таким образом,



Достаточными условиями минимума при наличии ограничений являются уравнения (1.12) и (1.13), а также положительная определенность квадратичной формы
![]() |
( 1.14) |
Замечание. Не всегда просто привести квадратичную форму к виду пригодному для использования.