НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое программирование. Лекция 6: Двойственный симплекс – метод. Исследование моделей задач линейного программирования на чувствительность

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Донецкий национальный технический университет

Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3134 / 726 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 52 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: В данной лекции широко рассматривается такой метод решения двойственной задачи линейного программирования, как двойственный симплекс – метод. Также рассматриваются его основные свойства и характеристики, проводится сравнительный анализ с обычным симплекс – методом. Кроме того, проводится исследование моделей задач на чувствительность с использованием экономической интерпретации обычной задачи линейного программирования.

Ключевые слова: симплекс-метод, двойственный симплекс-метод, оптимальный план, двойственная задача, сопряженный базис, базисное решение, псевдоплан прямой задачи, оптимальное решение прямой задачи, метод полного исключения, разложение вектора, симплекс-таблица, симплекс, метод искусственных переменных, оптимальные значения двойственных переменных, базисными векторами

1. Двойственный симплекс – метод

Использование идей двойственности в сочетании с общей идеей симплекс-метода позволило разработать еще один метод решения задач ЛП - двойственный симплекс-метод. Впервые этот метод был предложен Лемке в 1954г. Решение задачи ЛП двойственным симплекс-методом сводится к отысканию оптимального плана прямой задачи последовательным переходом от одного базиса к другому.

Задача ЛП в канонической форме имеет вид:

$\text{максимизировать} \; L(x) = \sum_{j=1}^n c_j x_j$

( 1.1)

при условиях

$\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j = b_{\mu}, \; (\mu = 1,2,\ldots,m)$

( 1.2)

или $\sum_{j=1}^n A_j x_j = b , \; x_j \geq 0, \; j = 1,2,\ldots,n$ .

Предположим, что $n \geq m$ и ранг матрицы А равен m.

Двойственная задача к задаче (1.1), (1.2) записывается так:

$\text{максимизировать} \; \widetilde{L}_{\delta e} (y) = \sum_{\mu=1}^m b_{\mu} y_{\mu}$

( 1.3)

при условиях

$A_j^T y \geq c_j, \; \sum_{\mu=1}^m a_{ij} y_{\mu} \geq c_j , j=1,2,.,n.$

( 1.4)

Назовем сопряженным базисом, или базисом двойственной задачи такую систему из m линейно-независимых векторов матрицы ограничений прямой задачи $\{ A_i \}_{i \in I_\delta}$ , для которой базисное решение y соответствующей системы линейных уравнений вида

$A_i^T y = c_i, \; i \; \textit{есть} \; I_{\delta}$

( 1.5)

удовлетворяет всем ограничением (1.4).

Разложим вектор b по сопряженному базису

$\sum_{i \in I_{\delta}} A_i x_i = b = A_0$

( 1.6)

Решив систему (1.6), получим некоторое ее базисное решение $\{ x_{i0} \}_{i \in I_{\delta}}$ , которое называется псевдопланом прямой задачи, так как для него может выполняться условие неотрицательности переменных x_i0.

Таким образом, псевдоплан прямой задачи есть базисное решение относительно сопряженного базиса.

Как известно, оценки для небазисных векторов $\Delta_j$ определяется в соответствии с

$\Delta_j = \sum_{i \in I_{\delta}} c_i x_{ij} - c_j , \; j=1,2,\ldots,n .$

( 1.7)

Псевдоплан можно найти и независимо от двойственной задачи. Пусть $\{ A_i \}_{i \in I_{\delta}}$ - произвольная система линейно-независимых векторов прямой задачи.

Выразим все небазисные векторы {A_j} через базисные:

$A_j = \sum_{i \in I_{\delta}} A_i x_{ij} ,$

( 1.8)

$A_0 = b = \sum_{i \in I_{\delta}} A_i x_i .$

( 1.9)

Обозначим решение (1.9) через х₀. Тогда можно дать дополнительное определение псевдоплана: n - мерный вектор X, для которого x_i = x_i0 при $i \in I_{\delta}$ , и x_j=0 при $j \notin I_{\delta}$ , является псевдопланом тогда и только тогда, когда все $\Delta_j \geq 0, \; j=1,\ldots,n$ .

Доказательство. Векторы $\{ A_i \}_{i \in I_{\delta}}$ , линейно независимы.

Поэтому можно вычислить такой y={y₁,y₂,...,y_m}, для которого

$A_j^T y = \sum_{\mu =1}^m a_{\mu} y_{\mu} = c_i, \; i \in I_{\delta}$

( 1.10)

Тогда

$\begin{align*} & \Delta_j = \sum_{i \in I_{\delta}} c_i x_{ij} - c_j = \sum_{i \in I_{\delta}} (\sum_{\mu=1}^m a_{\mu i} y_{\mu}) x_{ij} - c_j = \\ & \sum_{\mu=1}^m (\sum_{i \in I_{\delta}} a_{\mu i} x_{ij}) y_{\mu} - c_j = \sum_{\mu=1}^m a_{\mu i} y_{\mu} - c_j . \end{align*}$

С учетом (1.4) получим

$\Delta_j = \sum_{\mu = 1}^m a_{\mu i} y_{\mu} - c_j \geq 0, \; \forall = 1,n ,$

( 1.11)

что и требовалось доказать.

Рассмотрим некоторый сопряженный базис и соответствующий ему псевдоплан.

Справедлив следующий признак оптимальности: если среди базисных компонентов псевдоплана Х нет отрицательных, то псевдоплан Х={x_i0} оказывается оптимальным решением прямой задачи.

Доказательство. Имеет место такая цепочка равенств:

$\overline{L}_{\delta e} (y) = \sum_{\mu=1}^m b_{\mu} y_{\mu} \stackrel{(1)}{=} \sum_{\mu=1}^m (\sum_{i \in I_{\delta}} a_{\mu i} x_i) y_{\mu} \stackrel{(2)}{=} \sum_{i \in I_{\delta}} x_i (\sum_{\mu=1}^m a_{\mu i} y_{\mu}) \stackrel{(3)}{=} \sum_{i \in I_{\delta}} c_i x_i .$

Равенство (1) следует из (1.2), равенство (2) получено переменой порядка суммирования, равенство (3) следует из (1.10).

Так как

$x_j = 0 \; \text{при} \; j \neq I_{delta}$

( 1.12)

то

$\sum_{i \in I_{\delta}} c_i x_i = \sum_{j=1}^n c_j x_j = L(x)$

( 1.13)

Таким образом, $\overline{L}_{\delta e} (y) = L(y)$ , что и является признаком оптимальности планов х и у, если $x \ge 0$ .

Этот признак является необходимым и достаточным условием оптимальности в случае невыродженности базисного решения y двойственной задачи .

Пусть известен некоторый сопряженный базис $\{ A_i \}, i \in I_{\delta}$ , которому соответствует псевдоплан х. Очевидно, $А_j = \sum_{i \in I_{\delta}} A_i x_{ij}, А_0 = \sum_{i \in I_{\delta}} A_i x_i$ . При этом в зависимости от знаков {x_i} и {x_ij} может иметь место один из трех случаев:

базисные компоненты $х_i = х_{i0} \ge 0$ для всех $i \in I_{\delta}$ ;
среди х_i имеются отрицательные, причем для некоторого i: х_i0<0, а все $х_{ij} \ge 0, \; j=1,.,n$ ;
псевдоплан содержит отрицательные компоненты х_i0<0, но для каждой из них среди элементов {х_ij}, j=1,...,n, имеются отрицательные. В первом случае, как следует из достаточного признака оптимальности, псевдоплан х - оптимальное решение. Во втором случае задача не разрешима. В третьем случае можно перейти к некоторому новому сопряженному базису и, следовательно, к новому псевдоплану с меньшим значением L.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в математическое программирование

Лекция 6: Двойственный симплекс – метод. Исследование моделей задач линейного программирования на чувствительность

1. Двойственный симплекс – метод

Вопросы и ответы