Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2919 / 623 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00
Специальности: Программист

Лекция 8: Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах. Седловая точка и задача нелинейного программирования. Применение теоремы Куна – Таккера для задачи выпуклого программирования

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Аннотация: В данной лекции рассматривается задача нелинейного программирования при наличии ограничений в виде неравенств, в частности, ее форма записи, преимущества и недостатки в сравнении с задачей, имеющей ограничения – равенства, основные понятия и свойства. Кроме того, вводится понятие седловой точки и выясняется ее роль в задаче нелинейного программирования. При этом особое место отводится теореме Куна – Таккера, а также затрагивается вопрос применения данной теоремы к задаче выпуклого программирования.

1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах

Теорема Куна-Таккера. Рассмотрим случай задачи с ограничениями-неравенствами:

\text{минимизировать} \; f(x) ( 1.1)
при ограничениях
g_1(x) \le 0, \; i=\overline{1,m} ( 1.2)

В точке минимума x+ неравенства gi(x) могут выполняться как равенства или строгие неравенства.

Ограничение gi(x) называется активным в точке x+, если оно выполняется в ней как строгое равенство, то есть если gi(x+)=0

Используя геометрические свойства допустимой области, найдем необходимые условия экстремума для задач минимизаци с ограничениями. Для этого сначала рассмотрим случай, когда все gi(x) линейны. Итак, пусть требуется найти \min f(x) при условии

g_i(x) = - \eta_i^T x + b_i \le 0, \; i =\overline{1,m}

Здесь каждое ограничение (1.3) определяет полупространство в Rn. Допустимая область S задана пересечением m полупространств, определяемых неравенствами (1.3), и следовательно, является выпуклым многогранником. Вектор \eta_i является нормалью к гиперплоскости, определяемой уравнением gi(x)=0, и направлен внутрь области S.

Пусть точка x+ является точкой минимума задачи (1.1) с ограничениями (1.3). Обозначим множество индексов активных ограничений через

I=\lbrace i: g_i(x^*)=0 \rbrace ( 1.4)

Например, на рис.8.1 приведен пример минимизации с линейными ограничениями. Выберем любую допустимую точку x из S. Вектор x-x+ направлен из x+ внутрь области S. Такой вектор будем называть входящим. Для этого вектора с учетом того, что \eta_i = - \nabla g_i (x^*), можно записать следующее условие:

\eta_i^T(x-x^*) \ge 0,
или
\nabla g_i^T (x-x^*) \le 0, ( 1.5)
для всех i \in I и x \in S.


Рис. 8.1.

Таким образом, входящий вектор x определяет допустимое направление перемещения из точки x+. Но так как f(x) минимальна в точке x+, то при любом x-x+, удовлетворяющем (1.5), будем иметь:

\nabla f(x^*)(x-x^*) \ge 0, \; \forall \, x \in s. ( 1.6)

Применим теперь теорему, которая есть следствием леммы Фаркаша. Из условий (1.5), (1.6) на основании леммы Фаркаша следует, что существует множество неотрицательных скаляров \{ \lambda_i \} \ge 0, для которых

\nabla f(x^*) = \sum_{i \in I} \lambda_i \eta_i (x) = 
- \sum_{i \in I} \lambda_i \nabla g_i (x^*). ( 1.7)

Отметим, что уравнение (1.7) аналогично (4.15). Если принять, что \lambda_j = 0 при j \in I (то есть для неактивных ограничений), (1.7) можно переписать в виде

\nabla f(x^*) = \sum_{i = 1}^m \lambda_i \eta_i (x) = 
- \sum_{i = 1}^m \lambda_i \nabla g_i (x^*). ( 1.8)

Кроме того, получим, что

\sum_{i = 1}^m \lambda_i g_i (x^*) = 0. ( 1.9)
поскольку при i \in I \quad g_i(x^*)=0, а при j \notin I \quad \lambda_i = 0. Поэтому уравнения ограничений можно включить в целевую функцию следующим образом:
\varphi(x^*) = f(x^*) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x^*) ( 1.10)

Следовательно, x+ удовлетворяет следующим условиям:

\nabla \varphi(x^*) = \nabla f(x^*) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i(x^*) = 0, ( 1.11)
\sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x^*) = 0, \; \lambda_i \ge 0, \; i=\overline{1,m} ( 1.12)

При рассмотрении задачи минимизации f(x) при условиях g_i(x) \le 0 может случиться так, что не будет существовать таких \lambda_i^* \ge 0, \; i=\overline{1,m}, для которых без дополнительных предположений о природе функций были бы справедливы уравнения (1.9), (1.10), где x+ - оптимальное решение. Эти дополнительные предположения называют условиями регулярности ограничений. В частности, в рассмотренном случае, в качестве таких условий использовали линейную независимость векторов-градиентов ограничений \nabla g_i (x^*), i=\overline{1,m}.

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Максим Земан
Максим Земан
Россия, Омск, ОмГТУ, 2005
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига