Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2919 / 623 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00
Специальности: Программист
Лекция 2:

Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Аннотация: Данная лекция рассматривает примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы как примеры элементарных математических моделей, а также их свойства и целесообразность. В данной лекции рассматриваются такие примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы, как траектория всплытия подводной лодки, отклонение заряженной частицы в электронно - лучевой трубке и колебания колец Сатурна, а также рассматриваются некоторые их свойства.

По сравнению с п.1 из "Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели" более подробно и для более сложных объектов рассмотрим модели, следующие из законов Архимеда, Ньютона, Кулона и других хорошо известных законов. Обсудим некоторые свойства рассматриваемых объектов.

Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы

1. Траектория всплытия подводной лодки. Пусть подводная лодка, находящаяся в момент времени t = 0 на глубине Н от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью v (рис. 2.1), получает приказ подняться на поверхность. Если промежуток времени, за который цистерны подлодки освобождаются от воды и заполняются воздухом, с тем чтобы ее средняя плотность \rho_1 стала меньше плотности воды \rho_0, невелик, то можно считать, что в момент t=0 на подлодку начинает действовать выталкивающая сила, большая, чем вес лодки. По закону Архимеда выталкивающая сила равна F = gV \rho_0, где g -ускорение свободного падения, V - объем подлодки. Суммарная сила, действующая на подлодку в вертикальном направлении, - разность между F и весом тела Р = gV \rho_1, а сообщаемое ею ускорение по второму закону Ньютона равно

\rho_1 V \frac{d^2 h}{dt^2} = F - P = gV(\rho_0 - \rho_1).

Координата I, характеризующая горизонтальное положение подлодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью:

\frac{dl}{dt}=v.

Решая эти уравнения, находим, что

h(t) = g \frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_1} \, t^2, \qquad l(t) = vt, ( 1)
и что лодка всплывет на поверхность в момент t = tk, когда
h(t_k)=g \frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_1} \, t_k^2 =H, \qquad 
t_k= \left( \frac{\rho_1 H}{g(\rho_0-\rho_1)} \right)^{^1 \! /_2}.

При этом в горизонтальном направлении подлодка пройдет расстояние

L=vt_k= v\left( \frac{\rho_1 H}{g(\rho_0 - \rho_1)} \right)^{^1 \! /_2}.

Исключая из (1) время, найдем траекторию движения подлодки в координатах (I, h),

h=g \frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_1 v^2} \, l^2,
которая оказывается параболой с вершиной в точке I = 0, h = 0 (при выводе (1) вертикальная скорость лодки, а также величины I и h принимались равными нулю в момент t = 0 ). Считалось также, что никакие другие вертикальные силы, кроме F и Р, на подлодку не действуют. Это предположение верно лишь при малых скоростях всплытия, когда можно пренебречь сопротивлением воды движению лодки.


Рис. 2.1.

Итак, непосредственное применение закона Архимеда, определяющего величину выталкивающей силы, и закона Ньютона, связывающего силу, действующую на тело, и его ускорение, позволило легко найти траекторию подлодки.

Очевидно, что параболической траекторией обладает любое движущееся в плоскости тело, имеющее по одному из направлений постоянную скорость и на которое в другом направлении действует постоянная сила (уравнения (1) фактически дают параметрическую запись параболы). К таким движениям относятся, например, полет камня, брошенного с высоты Н с горизонтальной скоростью v или полет электрона в электрическом поле плоского конденсатора. Однако в последнем случае получить траекторию тела непосредственно из фундаментальных законов нельзя, требуется применить более детальную процедуру. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Максим Земан
Максим Земан
Россия, Омск, ОмГТУ, 2005
Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига