Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3131 / 724 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00
Специальности: Программист
Лекция 2:

Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >

2. Отклонение заряженной частицы в электронно-лучевой трубке. Будем считать, что обкладки конденсатора электроннолучевой трубки (рис. 2.2) представляют собой бесконечные плоскости


Рис. 2.2.

(предположение справедливо в случае, если расстояние между обкладками много меньше их размеров, а электрон движется на большом удалении от их краев). Очевидно, что электрон будет притягиваться к нижней обкладке и отталкиваться от верхней. Сила притяжения F двух разноименных зарядов элементарно определяется из закона Кулона

F= \frac{q_1 q_2}{r^2},
где q1 и q2 - величины зарядов, r - расстояние между ними. Сложность заключается в том, что в данном примере на обкладке находится бесконечно много зарядов, каждый из которых расположен на своем расстоянии от движущегося электрона. Поэтому необходимо сначала найти силу, индуцируемую каждым зарядом, и затем, просуммировав все элементарные силы, определить результирующее действие обкладок на электрон.

Разобьем всю плоскость нижней обкладки на элементарные "полоски", характеризующиеся координатами r1, r2, r3 ; - \infty < r_1, r_3 < \infty ; r2 = 0 (см. рис. 2.2).

Подсчитаем силу притяжения электрона зарядом, находящемся на элементарной площадке ds=dr1dr3 и равным dq=q0ds, где q0 - поверхностная плотность заряда на обкладке. Если частица находится на расстоянии r2 от заряженной плоскости, то

dr_1 = r_2 (\tg (\alpha + d \alpha) - \tg \alpha) = r_2 \frac{d \alpha}{\cos^2 \alpha}
(здесь учитывается малость величны da ). Для определения величины dr3 имеем
\frac{r_3+dr_3}{r_1+dr_1} =
\frac{\tg (\beta + d \beta)}{\sin (\alpha + d \alpha)}, \qquad
\frac{r_3}{r_2} = \frac{\tg \beta}{\tg \alpha}.

Из последних двух формул находим

dr_3 = (r_1+dr_1) \tg (\beta + d \beta) -r_1 \tg \beta =
\frac{r_1 d \beta / (\cos^2 \beta) + dr_1 \tg \beta}{\sin \alpha},
где, аналогично предыдущему, учтена также и малость величины d \beta. Умножая dr1 на dr3 и отбрасывая член более высокого порядка малости, получаем ds = r_2 r_1 da \; d \beta / (\cos^2 \alpha \, \cos^2 \beta \, \sin \alpha). Сила притяжения электрона с зарядом qе к элементарной площадке ds равна
dF= \frac{q_e q_0 r_2 r_1 d \alpha d \beta}{r^2 \cos^2 \alpha \, \cos^2 \beta \, \sin \alpha},
где r - "среднее" расстояние от электрона до площадки, которое с учетом малости величин d \alpha, d \beta вычисляется по формуле f = r_2/(\cos \alpha \, \cos \beta). В итоге для элементарной силы имеем
dF=q_e q_0 \frac{r_1}{r_2} \frac{d \alpha \, d \beta}{\sin \alpha} =
\frac{q_e q_0}{\cos \alpha} d \alpha \, d \beta,
а для ее вертикальной составляющей
dF_{\bot} = dF \cos \beta \, \cos \alpha = q_e q_0 \cos \beta \, d \alpha \, d \beta.

Проинтегрировав выражение для F_{\bot} по \beta от \beta = 0 до \beta = \pi/2, найдем силу притяжения электрона к части элементарной "полоски", расположенной в квадранте r1 > 0, r3 > 0:

dF^+_{\alpha} = q_e q_0 \, d \alpha .

Просуммировав dF^+_{\alpha} по \alpha от \alpha = 0 до \alpha = \pi/2, т.е. по всем полоскам квадранта r1 > 0, r3 > 0, определим силу притяжения, индуцируемую зарядами, расположенными в этом квадранте:

dF^+ = \frac{\pi}{2} \, q_e q_0 .

Учитывая действие всех четырех квадрантов плоскости нижней обкладки и проводя аналогичные рассуждения для верхней обкладки, получим результирующую силу притяжения (отталкивания) электрона ко всем зарядам конденсатора

F = 4 \pi q_e q_0. ( 2)

Сила F направлена вдоль оси r2 к нижней обкладке (составляющие F по осям r1, r3, очевидно, равны нулю в силу симметрии - чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть действие заряда, находящегося на площадке, расположенной в квадранте r1 < 0, r3 < 0 и симметричной площадке ds ).

Поскольку сила F не зависит от r2, а по горизонтальной оси частица движется с постоянной скоростью v, то приходим к ситуации предыдущего пункта - применив второй закон Ньютона, легко получить формулы, аналогичные (1), описывающие движение электрона по параболической траектории и дающие возможность вычислить все ее параметры. Однако в отличие от случая с подлодкой прямое применение фундаментального закона Кулона для получения модели движения электрона оказывается невозможным. Потребовалось, опираясь на фундаментальный закон, сначала описать элементарный акт взаимодействия зарядов, и уж затем, просуммировав все эти акты, удалось найти результирующую силу.

Подобная ситуация и последовательность действий весьма типичны при построении моделей, так как многие фундаментальные законы устанавливают взаимоотношения как раз между элементарными частями исходного объекта. Это, разумеется, справедливо не только для электрических сил, но, например, и для сил тяготения.

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >