НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 3: Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Приведем разностные уравнения для схемы Лакса во внутренних точках расчетной области:

$\frac{{u_m^{n + 1} - 0, 5(u_{m + 1}^{n} + u_{m - 1}^{n})}}{\tau} + c \frac{{u_{m + 1}^{n} - u_{m - 1}^{n}}}{2h} = 0.$

На рисунке приведен шаблон для схемы Лакса. Напомним, что шаблоном разностной схемы называется конфигурация узлов, значения сеточной функции в которых определяют вид разностных уравнений во внутренних (не приграничных) точках сетки. Как правило, на рисунках с изображениями шаблонов точки, участвующие в вычислении производных, соединяются линиями.

Схема Куранта - Изаксона - Риса (КИР), которую иногда также связывают с именем С.К. Годунова, получается при $\gamma = 0$ , $q = \sigma\ sign\ c$ . Ее порядок аппроксимации $O(\tau + h)$ . Схема КИР условно устойчива, т.е. при выполнении условия Куранта ${\sigma}= c{\tau}/h \le 1$ . Приведем разностные уравнения для схемы Куранта - Изаксона - Риса во внутренних точках расчетной области:

$\begin{gather*} \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} + c \frac{{u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}}}{h} = 0, c > 0, \\ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} + c \frac{{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h} = 0, \quad c < 0. \end{gather*}$

Эти схемы, имеющие также название схемы с разностями против потока (в англоязычной литературе — upwind) могут быть записаны в виде

$u_m^{n + 1} = u_m^{n} - {\sigma}\left\{ \begin{array}{cc} u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}, & a < 0, \\ u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}, & a \ge 0. \\ \end{array} \right.$

Их преимущество состоит в более точном учете области зависимости решения. Если ввести обозначения

$a^{+} = \frac{1}{2}(a + \left|{a}\right|) = \left\{ \begin{array}{cc} a, & a \ge 0, \\ 0, & a < 0, \\ \end{array} \right. a^{-} = \frac{1}{2}(a - \left|{a}\right|) = \left\{ \begin{array}{cc} 0, & a \ge 0, \\ a, & a < 0, \\ \end{array} \right.$

то обе схемы можно записать в следующих формах:

$\begin{gather*} u_m^{n + 1} = u_m^{n} - \frac{\tau}{h} \left[{a^{+} (u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}) + a^{-} (u_{m + 1}^{n} - u_m^{n})}\right]; \\ u_m^{n + 1} = u_m^{n} - \frac{\tau}{h}(f_{m + 1/2}^{n} - f_{m - 1/2}^{n}), \quad f_{m + 1/2}^{n} = \\ = \frac{1}{2} \left[{a(u_{m + 1}^{n} + u_m^{n}) - \left| a\right|(u_{m + 1}^{n} - u_m^{n})}\right], \\ f_{m - 1/2}^{n} = \frac{1}{2} \left[{a(u_m^{n} + u_{m - 1}^{n}) - \left| a\right|(u_m^{n} - u_{m - 1}^{n})}\right] \end{gather*}$

(потоковая форма разностного уравнения);

$u_m^{n + 1} = u_m^{n} - \frac{1}{2} \sigma (u_{m + 1}^{n} - u_{m - 1}^{n}) + \frac{{\left| \sigma\right|}}{2}(u_{m + 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m - 1}^{n})$

(здесь явно выделен член со второй разностью, придающий устойчивость схеме);

$\Delta_{\tau} u_m^{n} = \frac{{\left| \sigma\right| - {\sigma}}}{2} {\Delta}^{+} u_m^{n} - \frac{{\left| \sigma\right| + {\sigma}}}{2} {\Delta}^{-} u_m^{n}$

(уравнение в конечных приращениях).

Рассмотрим также метод неопределенных коэффициентов для построения разностной схемы правый уголок первого порядка точности для уравнения переноса

$\frac{{\partial}u}{{\partial}t} - \frac{{\partial}u}{{\partial}x} = {\varphi}(t, x), \mbox{ т.е. при } a = - 1.$

Схему можно представить в виде

$\begin{gather*} L_{\tau} u^{\tau} = b_1 u_m^{n + 1} + b_2 u_m^{n} + b_3 u_{{m} + 1}^{n} = \varphi_m^{n}, \\ b_1 ={\tau}^{- 1}, b_2 = h^{- 1} -{\tau}^{- 1}, b_3 = - h^{- 1} . \end{gather*}$

Схема Куранта - Изаксона - Риса тесно связана с численными методами характеристик. Дадим краткое описание идеи таких методов.

Две последние полученные схемы (при разных знаках скорости переноса) можно интерпретировать следующим образом. Построим характеристику, проходящую через узел ( t_{n + 1}, x_m ), значение в котором необходимо определить, и пересекающую слой t_n в точке $x' = x_{m} - c \tau$ . Для определенности считаем, что скорость переноса c положительна.

Проведя линейную интерполяцию между узлами x_{m - 1} и x_m на нижнем слое по времени, получим

$\begin{gather*} u_m (x^{\prime}) = u_{m - 1} \frac{{x_m - x^{\prime}}}{h} + u_m \frac{{x^{\prime} - x_{m - 1}}}{h} = \\ = \frac{{c{\tau}}}{h}u_{m - 1} + (1 - \frac{{c{\tau}}}{h})u_m = {\sigma}u_{m - 1} - (1 - {\sigma})u_m . \end{gather*}$

Далее перенесем вдоль характеристики значение u_n(x') без изменения на верхний слой t_{n + 1}, т.е. положим $u_m^{n + 1} = u_n (x^{\prime})$ . Последнее значение естественно считать приближенным решением однородного уравнения переноса. В таком случае

$u_m^{n + 1} = (1 - {\sigma})u_m + {\sigma}u_{m - 1},$

или, переходя от числа Куранта снова к сеточным параметрам,

$\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} + a \frac{{u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}}}{h} = 0,$

т.е. другим способом пришли к уже известной схеме "левый уголок", устойчивой при ${\sigma} = c{\tau}/h \le 1, \quad c > 0$ . При $\sigma > 1$ точка пересечения характеристики, выходящей из узла ( t_{n + 1}, x_m, с n - м слоем по времени расположена левее узла ( t_n, x_{m - 1} ). Таким образом, для отыскания решения $u_m^{n + 1}$ используется уже не интерполяция, а экстраполяция, которая оказывается неустойчивой.

Неустойчивость схемы "правый уголок" при c > 0 также очевидна. Для доказательства этого можно использовать либо спектральный признак, либо условие Куранта, Фридрихса и Леви. Аналогичные рассуждения можно провести и для случая c < 0 и схемы "правый уголок".

Неустойчивая четырехточечная схема получается при $\gamma = 0,\ q = 1$ , ее порядок аппроксимации $O(\tau + h^{2})$ . Сеточные уравнения для разностной схемы будут иметь следующий вид:

$\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} + c \frac{{u_{{m} + 1}^{n} - u_{m - 1}^{n}}}{2h} = 0.$

Схема Лакса - Вендроффа возникает при $\gamma = 0,\ q = \sigma^2$ . Порядок аппроксимации схемы Лакса - Вендроффа есть $O(\tau ^{2} + h^{2})$ . Схема устойчива при выполнении условия Куранта ${\sigma}= c{\tau}/h \le 1$ .

Эту схему можно получить либо методом неопределенных коэффициентов, либо путем более точного учета главного члена погрешности аппроксимации. Рассмотрим процесс вывода схемы Лакса - Вендроффа подробнее. Проводя исследование предыдущей четырехточечной схемы на аппроксимацию (а исследование это довольно элементарно и сводится к разложению функции проекции на сетку точного решения дифференциальной задачи в ряд Тейлора), получим для главного члена погрешности

$\begin{gather*} \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} + c \frac{{u_{{m} + 1}^{n} - u_{m - 1}^{n}}}{2h} = \left. {\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + c \frac{{\partial}u}{{\partial}x}} \right|_{t_n , x_m } + \\ + c^2 \frac{\tau}{2} \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}} + O({\tau}^2 + h^2 ). \end{gather*}$

При выводе выражения для главного члена погрешности аппроксимации использовано следствие исходного дифференциального уравнения переноса

$\frac{{\partial}^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{{\partial}^2 u}{{\partial}x^2}$

, которое получается путем дифференцирования исходного уравнения (3.3) сначала по времени t, затем по координате x и вычитанием одно из другого получившихся соотношений.

Далее, заменяя вторую производную во втором слагаемом в правой части с точностью до O(h²), получим новую разностную схему, аппроксимирующую исходное дифференциальное уравнение с точностью $O(\tau ^{2} + h^{2})$ . Сеточные уравнения для схемы Лакса - Вендроффа во внутренних узлах расчетных сеток есть

$\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} + c \frac{{u_{{m} + 1}^{n} - u_{m - 1}^{n}}}{2h} - c^2 \frac{\tau}{2} \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{{m} + 1}^{n}}}{{h^2}} = 0.$

Неявная шеститочечная схема возникает при q = 0 ; при $\gamma = 0, 5$ ее порядок аппроксимации $O(\tau ^{2} + h^{2})$ , при $\gamma = 1 - O(\tau + h^{2})$ .

Построить шаблоны схемы при $\gamma = 0, 5$ и при $\gamma = 1$ .

Неявная нецентральная схема. Рассмотрим случай $q = \sigma\ sign\ c$ . При $\gamma = 0, 5$ порядок аппроксимации — $O(\tau ^{2} + h)$ . При $\gamma = 1 - O(\tau + h)$ . Упражнение. Нарисовать шаблон схемы при $\gamma = 0, 5$ и при $\gamma = 1$ .

Последние две разностные схемы носят названия схем Ландау - Меймана - Халатникова и Карлсона, соответственно.

Явная схема Бима - Уорминга

Бим и Уорминг предложили изменить метод Мак-Кормака, используя на обоих этапах односторонние разности одинаковой направленности;для линейного уравнения переноса эта схема будет

$\begin{gather*} \frac{\tilde{u}_m - u_m}{\tau} + a \frac{u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}}{h} = 0, \\ \frac{u_m^{n + 1} - \frac{1}{2}(u_m^{n} + \tilde{u}_m)}{\tau} + a \frac{\tilde{u}_m - \tilde{u}_{m - 1}}{h} + a \frac{u_m^{n} - 2u^{n}_{m - 1} + u^{n}_{m - 2}}{h^2} = 0. \end{gather*}$

При подстановке первого уравнения во второе, получим

$u_m^{n + 1} = u_m^{n} - {\sigma}(u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}) + \frac{{\sigma}}{2}(1 - {\sigma})(u_m^{n} - 2u_{m - 1}^{n} + u_{{m} - 2}^{n}) = 0.$

Шаблоны двух - и одноэтапной схем имеют вид

Эта же схема может быть записана в приращениях

$\Delta_{\tau} u_m^{n} = \frac{{{\sigma}({\sigma}- 1)}}{2} \Delta^{-} u_m^{n} - \frac{{{\sigma}(1 + {\sigma})}}{2} {\Delta}^{-}u_{m - 1}^{n} .$

Дальше >>

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

Вопросы и ответы

Студенты