НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 11: О деревьях

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 31 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Каркасы в неориентированном графе

Число каркасов в неориентированном графе определяется с помощью следующей матричной теоремы о деревьях в графе. Пусть M(G) обозначает матрицу, получаемую из матрицы A(G) , где A(G) — матрица смежности графа , с помощью подстановки в ней на место -го диагонального элемента числа $\deg v_{i}$ .

Матричная теорема о деревьях для графов. Для всякого связного помеченного графа все алгебраические дополнения матрицы равны друг другу и их общее значение представляет собой число каркасов графа .

Пример. Для графа (рис.11. 3) с матрицей смежности

$A(G) = \left|\!\left| \begin{matrix} 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right|\!\right|$

матрица

имеет вид

$M(G) = \left|\!\left| \begin{matrix} \phantom{-}2 & -1 & -1 & \phantom{-}0\\ -1 & \phantom{-}2 & -1 & \phantom{-}0\\ -1 & -1 & \phantom{-}3 & -1\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}1 \end{matrix} \right|\!\right|.$

Алгебраическое дополнение, например, элемента $a_{1,4}$ , равно . Соответствующие каркасы графа показаны на (рис.11. 4).

Рис. 11.3.

Рис. 11.4.

Интересен также следующий результат. Пусть G-n -вершинный граф без петель и B_0 — его матрица инциденции с одной удаленной строкой (т.е. с n - 1 независимыми строками). Пусть B^t_0 — транспонированная матрица к B_0 . Тогда определитель $|B_0^{} B_0^t|$ равен числу остовных деревьев графа .

Каркасы в ориентированных графах

Число каркасов в ориентированном графе определяется с помощью аналогичной матричной теоремы о деревьях в орграфе. Пусть — орграф с матрицей смежности A(G) . Определим диагональную матрицу $M_{\rm out}$ , у которой (i,i) -й элемент равен полустепени исхода ${\rm deg}^+v_i$ вершины v_i . Затем положим $C_{\rm out}= M_{\rm out} - A(G)$ . Аналогично определяется матрица $C_{\rm in} = M_{\rm in} - A(G)$ .

Матричная теорема о деревьях для орграфов. Все алгебраические дополнения -й строки матрицы $C_{\rm out}$ равны друг другу, и их общее значение есть число каркасов орграфа , входящих в вершину . Двойственным образом общее значение алгебраических дополнений -го столбца матрицы $C_{\rm in}$ равно числу каркасов, выходящих из вершины .

Пример. Для графа (см. рис.11.5) матрицы $C_{\rm out}$ и $C_{\rm in}$ имеют вид:

$C_{\rm out} = \left|\!\left| \begin{matrix} 2 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1 & -1 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 & -1 & -1 & \phantom{-}0 & -1\\ -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \end{matrix} \right|\!\right|\qquad C_{\rm in} = \left|\!\left| \begin{matrix} \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1 & -1 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & -1 & \phantom{-}0\\ \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -1\\ -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}2 \end{matrix} \right|\!\right|$

Используя их, убеждаемся сразу, исходя из первой строки матрицы $C_{\rm out}$ и из первого столбца матрицы $C_{\rm in}$ , что орграф имеет в точности четыре каркаса, выходящих из вершины , и два каркаса, входящих в эту вершину.