НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 11: О деревьях

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 31 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Перечисление и подсчет деревьев

Теорема (Кэли) Число t_n помеченных деревьев с вершинами равно ${t_n = n^{n-2}}$ .

Теорема (Скойнса) Число -раскрашенных деревьев с вершинами одного цвета и вершинами другого равно $S_n = n^{m -1} m^{n -1}$ .

Теорема (Рида) Число помеченных гомеоморфно несводимых деревьев равно $h_{n} =(n-2)!\suml_{k=2}^{n}(-1)^{n-k} \begin{pmatrix} {n} \\ {k} \end{pmatrix} \frac{k^{k-2}}{(k-2)!}$ .

Непомеченные деревья

Пусть $T(x)=\suml_{n=1}^{\infty }T_{n} x^{n}$ — производящая функция для корневых деревьев.

Таким образом, $T_{n}$ представляет собой число корневых деревьев с вершинами.

Теорема (Пойа) Перечисляющий ряд корневых деревьев удовлетворяет соотношению

$T(x)=x\cdot \exp \left\{\suml_{k=1}^{\infty }T(x^{k} )/k \right\}\!$

( *)

.

Из этой теоремы следует, что T(x) однозначно определяется функциональным уравнением (*). Из данного уравнения выводится формула для T(x) . Данную зависимость получил Кэли: $T(x)=x\cdot \prod\limits_{p=1}^{\infty }(1-x^{p} )^{-T} p$ .

Следующая рекурсивная функция для вычисления T(n) принадлежит Оттеру.

Пусть

$t(x)=\suml_{n=1}^{\infty }t_{n} x^{n}$

производящая функция для деревьев, так что $t_{n}$ есть число деревьев с

вершинами.

Теорема (Оттера) Ряд $t_n^{}$ , перечисляющий деревья, выражается через ряд T(x) для корневых деревьев с помощью формулы $t(x)=T(x){-}\frac{1}{2} \left(T^{2}(x){-}T(x^{2})\right)$ .

Ориентированные деревья

Пусть r(x) и R(x) — перечисляющие ряды для ориентированных и для корневых ориентированных деревьев, соответственно.\medskip

Теорема (Харари-Принса) Перечисляющие ряды r(x) и R(x) для ориентированных и для корневых ориентированных деревьев удовлетворяют соотношениям $T(x)=x\cdot \left(\exp \left\{\suml_{k=1}^{\infty }R(x^{k} )/k \right\}\right)^{2}$ и r(x)= R(x) - R^2(x) .

Дальше >>

Графы и их применение

Графы и их применение