НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 7: Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.02.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Описывается много новых понятий, таких как отношение эквивалентности, отношение частичного порядка, изоморфные частичные множества. Доказываются несколько теорем по данной теме с подробными объяснениями, графиками и примерами. Задается большое количество примеров частичных порядков. Описываются несколько конструкций, позволяющих строить одни упорядоченные множества из других. Для лекции характерно множество задач для самостоятельного решения

Ключевые слова: бинарным отношением, подмножество, отношение, место, объединение, отношение эквивалентности, доказательство, множества, симметричность, транзитивность, пересечение, объединение отношений, бесконечное множество, число классов, антисимметричность, частичная упорядоченность, определение, частичный порядок, отношение частичного порядка, выражение, строгие порядки, мощность множества, индуцированный, конечные, делителем, взаимно однозначное отображение, отображение, свойства множества, изоморфизм, умножение, функция, целое число

Отношения эквивалентности и порядка

Напомним, что бинарным отношением на множестве называется подмножество $R\hm\subset X\hm\times X$ ; вместо $\langle x_1,x_2\rangle \hm\in R$ часто пишут x_1 R x_2 .

Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если выполнены следующие свойства:

(рефлексивность) для всех $x\hm\in X$ ;
(симметричность) $xRy \hm\Rightarrow yRx$ для всех $x,y\hm\in X$ ;
(транзитивность) $xRy \text{ и } yRz \hm\Rightarrow xRz$ для любых элементов $x,y,z\hm \in X$ .

Имеет место следующее очевидное, но часто используемое утверждение:

Теорема 11. (а) Если множество разбито в объединение непересекающихся подмножеств, то отношение " лежать в одном подмножестве" является отношением эквивалентности.

(б) Всякое отношение эквивалентности получается описанным способом из некоторого разбиения.

Доказательство. Первое утверждение совсем очевидно; мы приведем доказательство второго, чтобы было видно, где используются все пункты определения эквивалентности. Итак, пусть - отношение эквивалентности. Для каждого элемента $x\hm\in X$ рассмотрим его класс эквивалентности - множество всех $y\in X$ , для которых верно xRy .

Докажем, что для двух различных x_1 , x_2 такие множества либо не пересекаются, либо совпадают. Пусть они пересекаются, то есть имеют общий элемент . Тогда x_1 R z и x_2 R
z , откуда z R x_2 (симметричность) и x_1 R x_2 (транзитивность), а также x_2 R x_1 (симметричность). Поэтому для любого из x_1 R z следует x_2 R z (транзитивность) и наоборот.

Осталось заметить, что в силу рефлексивности каждый элемент принадлежит задаваемому им классу, то есть действительно все множество разбито на непересекающиеся классы.

78. Покажите, что требования симметричности и транзитивности можно заменить одним: $\text{xRz и yRz} \Rightarrow xRy$ (при сохранении требования рефлексивности).

79. Сколько различных отношений эквивалентности существует на множестве $\{1,2,3,4,5\}$ ?

80. На множестве задано два отношения эквивалентности, обозначаемые $\sim_1$ и $\sim_2$ , имеющие n_1 и n_2 классов эквивалентности соответственно. Будет ли их пересечение $x\sim y \hm\Leftrightarrow [(x\sim_1 y)\text{ и }(x\sim_2 y)]$ отношением эквивалентности? Сколько у него может быть классов? Что можно сказать про объединение отношений?

81. (Теорема Рамсея) Множество всех - элементных подмножеств бесконечного множества разбито на классов ( , - натуральные числа). Докажите, что найдется бесконечное множество $B\hm\subset A$ , все - элементные подмножества которого принадлежат одному классу.

(При $k\hm=1$ это очевидно: если бесконечное множество разбито на конечное число классов, то один из классов бесконечен. При k=2 и l=2 утверждение можно сформулировать так: из бесконечного множества людей можно выбрать либо бесконечно много попарно знакомых, либо бесконечно много попарно незнакомых. Конечный вариант этого утверждения - о том, что среди любых шести людей есть либо три попарно знакомых, либо три попарно незнакомых, - известная задача для школьников.)

Множество классов эквивалентности называют фактор - множеством множества по отношению эквивалентности . (Если отношение согласовано с дополнительными структурами на , получаются фактор - группы, фактор - кольца и т.д)

Отношения эквивалентности нам не раз еще встретятся, но сейчас наша основная тема - отношения порядка.

Бинарное отношение $\le$ на множестве называется отношением частичного порядка, если выполнены такие свойства:

(рефлексивность) $x\le x$ для всех $x\hm\in X$ ;
(антисимметричность) $x\le y \text{ и } y\le x \hm\Rightarrow x\hm=y$ для всех $x,y\hm\in X$ ;
(транзитивность) $x\le y\text{ и }y\le z \hm\Rightarrow x\hm\le z$ для всех $x,y,z\hm \in X$ .

(Следуя традиции, мы используем символ $\le$ (а не букву) как знак отношения порядка.) Множество с заданным на нем отношением частичного порядка называют частично упорядоченным.

Говорят, что два элемента x,y частично упорядоченного множества сравнимы, если $x\le y$ или $y\le x$ . Заметим, что определение частичного порядка не требует, чтобы любые два элемента множества были сравнимы. Добавив это требование, мы получим определение линейного порядка ( линейно упорядоченного множества ).

Приведем несколько примеров частичных порядков:

Числовые множества с обычным отношением порядка (здесь порядок будет линейным).
На множестве $\mathbb{R}\hm\times\mathbb{R}$ всех пар действительных чисел можно ввести частичный порядок, считая, что $\langle x_1,x_2\rangle \hm\le \langle y_1,y_2\rangle$ , если $x_1\hm\le x_2$ и $y_1\hm\le y_2$ . Этот порядок уже не будет линейным: пары $\langle 0,1\rangle$ и $\langle 1,0\rangle$ не сравнимы.
На множестве функций с действительными аргументами и значениями можно ввести частичный порядок, считая, что $f\hm\le g$ , если $f(x)\hm\le g(x)$ при всех $x\in\bbR$ . Этот порядок не будет линейным.
На множестве целых положительных чисел можно определить порядок, считая, что $x\hm\le y$ , если делит . Этот порядок тоже не будет линейным.
Отношение " любой простой делитель числа является также и делителем числа " не будет отношением порядка на множестве целых положительных чисел (оно рефлексивно и транзитивно, но не антисимметрично).
Пусть - произвольное множество. Тогда на множестве всех подмножеств множества отношение включения $\subset$ будет частичным порядком.
На буквах русского алфавита традиция определяет некоторый порядок ( $\text{а}\hm\le\text{б}\hm\le\text{в}\hm\le\ldots\hm\le\text{я}$ ). Этот порядок линеен - про любые две буквы можно сказать, какая из них раньше (при необходимости заглянув в словарь).
На словах русского алфавита определен лексикографический порядок (как в словаре). Формально определить его можно так: если слово является началом слова , то $x\hm\le y$ (например, $\text{кант}\hm\le\text{кантор}$ ). Если ни одно из слов не является началом другого, посмотрим на первую по порядку букву, в которой слова отличаются: то слово, где эта буква меньше в алфавитном порядке, и будет меньше. Этот порядок также линеен (иначе что бы делали составители словарей?).
Отношение равенства ( $(x\hm\le y)\hm\Leftrightarrow (x\hm=y)$ ) также является отношением частичного порядка, для которого никакие два различных элемента не сравнимы.
Приведем теперь бытовой пример. Пусть есть множество картонных коробок. Введем на нем порядок, считая, что $x\hm\le y$ , если коробка целиком помещается внутрь коробки (или если и - одна и та же коробка). В зависимости от набора коробок этот порядок может быть или не быть линейным.

Пусть x,y - элементы частично упорядоченного множества . Говорят, что x<y , если $x\le y$ и $x\ne y$ . Для этого отношения выполнены такие свойства:

$\begin{gather*} x \not< x;\\ (x< y) \text{ и } (y < z)\ \Rightarrow\ x < z. \end{gather*}$

(Первое очевидно, проверим второе: если $x\hm<y$ и $y\hm<z$ , то есть $x\hm\le y$ , $x\hm\ne y$ , $y\hm\le z$ , $y\hm\ne z$ , то $x\hm\le z$ по транзитивности; если бы оказалось, что $x\hm=z$ , то мы бы имели $x\hm\le y\hm\le x$ и потому $x\hm=y$ по антисимметричности, что противоречит предположению.)

Терминологическое замечание: мы читаем знак $\le$ как " меньше или равно", а знак - как " меньше", неявно предполагая, что $x\hm\le y$ тогда и только тогда, когда $x\hm<y$ или $x\hm=y$ . К счастью, это действительно так. Еще одно замечание: выражение $x\hm>y$ (" больше ") означает, что $y\hm<x$ , а выражение $x\ge y$ (" больше или равно ") означает, что $y\hm\le x$ .