Лемма Цорна и свойства операций

Лемма Цорна и ее применения

В современных учебниках редко встречается трансфинитная индукция как таковая: она заменяется ссылкой на так называемую лемму Цорна. Сейчас мы покажем, как это делается, на примере теоремы о существовании базиса в линейном пространстве.

Теорема 30 (лемма Цорна) Пусть - частично упорядоченное множество, в котором всякая цепь имеет верхнюю границу. Тогда в этом множестве есть максимальный элемент, и, более того, для любого элемента существует элемент , являющийся максимальным в . ( Цепь - это подмножество, любые два элемента которого сравнимы. Верхняя граница цепи - элемент, больший или равный любого элемента цепи.)

Доказательство. Прежде всего отметим, что лишь частично упорядочено, поэтому надо различать максимальные и наибольшие элементы. По этой же причине мы вынуждены употреблять грамматически некорректную конструкцию " больший или равный любого (любому?)", поскольку сказать " не меньше любого" (стандартный выход из положения) означало бы изменить смысл.

Доказательство повторяет рассуждения при построении базиса, но в более общей ситуации (теперь у нас не линейно независимые семейства, а произвольные элементы ).

Пусть дан произвольный элемент . Предположим, что не существует максимального элемента, большего или равного . Это значит, что для любого найдется . Тогда и потому найдется и т.д Продолжая этот процесс достаточно долго, мы исчерпаем все элементы и придем к противоречию.

Проведем рассуждение аккуратно (пока что мы даже не использовали условие леммы, касающееся цепей). Возьмем вполне упорядоченное множество достаточно большой мощности (большей, чем мощность ). Построим строго возрастающую функцию по трансфинитной рекурсии. Ее значение на минимальном элементе будет равно . Предположим, что мы уже знаем все ее значения на всех элементах, меньших некоторого . В силу монотонности эти значения попарно сравнимы. Поэтому существует их верхняя граница , которая, в частности, больше или равна . Возьмем какой-то элемент и положим ; по построению монотонность сохранится. Тем самым равномощно части , что противоречит его выбору.

В этом рассуждении, формально говоря, есть пробел: мы одновременно определяем функцию по трансфинитной рекурсии и доказываем ее монотонность с помощью трансфинитной индукции. Наше рекурсивное определение имеет смысл, лишь если уже построенная часть функции монотонна. Формально говоря, надо воспользоваться теоремой 19, считая, что следующее значение не определено, если уже построенный участок не монотонен, и получить функцию, определенную на всем или на начальном отрезке. Если она определена на некотором начальном отрезке, то она монотонна на нем по построению, поэтому следующее значение тоже определено - противоречие.

Как и при построении базиса Гамеля (задача 115), можно обойтись без множества большей мощности. Вполне упорядочим множество с помощью теоремы Цермело. Этот порядок никак не связан с исходным порядком на ; мы будем обозначать его символом . Построим с помощью трансфинитной рекурсии функцию с такими свойствами: (1) для любого ; (2) монотонна в следующем смысле: если , то ; (3) не может быть строго меньше (в смысле исходного порядка ) ни при каком .

Делается это так. Значение для - наименьшего элемента мы положим равным либо , либо (последнее - если ). Значение для остальных есть либо верхняя граница значений при (по предположению индукции множество таких значений линейно упорядочено и потому имеет некоторую верхнюю границу ), либо само (последнее - если ).

В силу монотонности множество значений функции линейно упорядочено и имеет верхнюю границу. Эта граница (обозначим ее ) больше или равна (которое есть ) и является искомым максимальным элементом: если для некоторого , то , что противоречит свойству (3).

Теперь повторим доказательство теоремы о базисе, используя лемму Цорна. Пусть - произвольное векторное пространство. Рассмотрим частично упорядоченное множество , состоящее из линейно независимых подмножеств пространства . Порядок на задается отношением "быть подмножеством".

Проверим, что условия леммы выполнены. Пусть имеется некоторая цепь, то есть семейство линейно независимых множеств, причем любые два множества этого семейства сравнимы. Объединим все эти множества и покажем, что полученное множество будет линейно независимым (тем самым оно будет верхней границей элементов цепи). В самом деле, нетривиальная линейная комбинация включает в себя какое-то конечное число векторов, каждый из своего множества. Этих множеств конечное число, и потому среди них есть наибольшее по включению (в конечном линейно упорядоченном множестве есть наибольший элемент). Это наибольшее множество содержит все векторы нетривиальной линейной комбинации, и линейно независимо по предположению, так что наша нетривиальная линейная комбинация отлична от нуля.

Таким образом, можно применить лемму Цорна и заключить, что любое линейно независимое множество векторов содержится в максимальном линейно независимом множестве векторов. К нему уже нельзя добавить ни одного вектора, не создав линейной зависимости, и оно является искомым базисом.

Аналогичным образом можно доказать существование ортогонального базиса в гильбертовом пространстве (там определение базиса другое: разрешаются бесконечные линейные комбинации, понимаемые как суммы рядов) или существование базиса трансцендентности (максимальная алгебраически независимая система элементов в расширении полей).

Мы приведем другой пример применения леммы Цорна, где фигурируют уже известные нам понятия.