НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 1: Множества

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.02.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Вводная лекция знакомит читателя с основными понятиями и обозначениями, связанными со множествами. Описываются такие операции, как пересечение, объединение, разность, симметрическая разность. Определяется ряд дополнительных понятий, таких как мощность множества, равномощные множества, без которых невозможно дальнейшее изучение курса. Доказывается формула включений и исключений. Для лекции характерно большое количество примеров, задач для самостоятельного решения

Множества

Основные понятия и обозначения, связанные с множествами и операциями над ними:

Множества состоят из элементов. Запись $x\hm\in M$ означает, что является элементом множества .
Говорят, что множество является подмножеством множества (запись: $A\hm\subset B$ ), если все элементы являются элементами .
Множества и равны (запись: $A\hm=B$ ), если они содержат одни и те же элементы (другими словами, если $A\hm\subset B$ и $B\hm\subset A$ ).
Если - подмножество , не равное всему , то называют собственным подмножеством (запись: $A\hm\subsetneq B$ ).
Пустое множество $\varnothing$ не содержит ни одного элемента и является подмножеством любого множества.
Пересечение $A\hm\cap B$ двух множеств и состоит из элементов, которые принадлежат обоим множествам и . Это записывают так:
$A \cap B = \{ x\mid x\in A \text{ и } x\in B\}$
(читается: множество таких , что $\dots$ ).
Объединение $A\cup B$ состоит из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и :
$A \cup B = \{ x\mid x\in A \text{ или } x\in B\}.$
Разность $A\setminus B$ состоит из элементов, которые принадлежат , но не принадлежат :
$A \setminus B = \{ x\mid x\in A \text{ и } x\notin B\}.$
Если множество является подмножеством множества , разность $A\setminus B$ называют также дополнением до .
Симметрическая разность $A\bigtriangleup B$ состоит из элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств и :
$A \bigtriangleup B = (A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$
Через $\{a,b,c\}$ обозначается множество, которое содержит элементы , , и не содержит других. Если среди , , есть равные, оно может содержать один или два элемента. Подобное обозначение используется и в менее формальных ситуациях: множество членов последовательности $a_0,a_1,\ldots$ обозначается $\{a_0,a_1,\ldots\}$ или даже $\{a_i\}$ . Более аккуратная запись для того же множества такова: $\{a_i\mid i\in\mathbb{N}\}$ , где $\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел $\{0,1,2,\ldots\}$ .

Понятие множества появилось в математике сравнительно недавно, в конце 19-го века, в связи с работами Кантора (сравнение мощностей множеств), о которых пойдет речь дальше. Некоторое время назад этот язык пытались внедрить в школьное преподавание, объясняя ученикам, что у уравнения $x^2\hm+1\hm=0$ есть множество решений (впрочем, пустое), что множество решений системы уравнений есть пересечение множеств решений каждого из них (а для "совокупности" уравнений - объединение), что в множестве $\{2,2,3\}$ не три элемента, а два, и оно равно множеству $\{2,3\}$ , что $\varnothing$ , $\{\varnothing\}$ и $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ - это три совершенно разных множества и т.д. Но все равно большинство школьников так и не поняло, почему множество решений уравнения $x^2\hm=4$ можно записывать как $\{-2,2\}$ , а множество решений уравнения $x^2\hm=-4$ нельзя записывать как $\{\varnothing\}$ (а надо писать $\varnothing$ ). Отметим кстати еще два расхождения: в школе натуральные числа начинаются с единицы, а в некоторых книжках - с нуля (мы тоже будем называть нуль натуральным числом). Кроме того, иногда вместо $\subset$ пишут $\subseteq$ , используя $\subset$ для собственных подмножеств (вместо нашего $\subsetneq$ ).

Мы предполагаем, что перечисленные выше основные понятия теории множеств более или менее вам знакомы, и будем достаточно свободно ими пользоваться. Вот несколько задач для самоконтроля; надеемся, что большинство из них не представит для вас большого труда.

1.Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков - это один или тот же человек или (возможно) разные?

2. Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков - это один или тот же человек или (возможно) разные?

3. Каждый десятый математик - шахматист, а каждый шестой шахматист - математик. Кого больше - математиков или шахматистов - и во сколько раз?

4. Существуют ли такие множества , и , что ${A\cap B}\hm\ne \varnothing$ , $A\cap C\hm=\varnothing$ и $(A\cap B)\setminus C\hm=\varnothing$ ?

5. Какие из равенств (а) $(A\hm\cap B)\hm\cup C \hm= (A\hm\cup C)\hm\cap (B\hm\cup C)$ ; (б) $(A\hm\cup B)\hm\cap C \hm= (A\hm\cap C)\hm\cup (B\hm\cap C)$ ; (в) $(A\hm\cup B)\setminus C \hm= (A\setminus C)\hm\cup B$ ; (г) $(A\hm\cap B)\setminus C \hm= (A\setminus C)\hm\cap B$ ; (д) $A\setminus (B\hm\cup C) = (A\setminus B)\hm\cap (A\setminus C)$ ; (е) $A\setminus (B\hm\cap C) = (A\setminus B)\hm\cup (A\setminus C)$ верны для любых множеств A,B,C ?

6. Проведите подробное доказательство верных равенств предыдущей задачи, исходя из определений. (Докажем, что множества в левой и правой частях равны. Пусть - любой элемент левой части равенства. Тогда... Поэтому входит в правую часть. Обратно, пусть...) Приведите контрпримеры к неверным равенствам.

7. Докажите, что симметрическая разность ассоциативна: ${A\bigtriangleup(B\bigtriangleup C)}\hm= {(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C}$ для любых , и . (Указание: сложение по модулю ассоциативно.)

8. Докажите, что $(A_1\hm\cap\ldots\hm\cap A_n)\hm\bigtriangleup (B_1\hm\cap\ldots\hm\cap B_n)\hm\subset (A_1\hm\bigtriangleup B_1)\hm\cup\ldots\hm\cup(A_n\hm\bigtriangleup B_n)$ для любых множеств $A_1,\dots,A_n$ и $B_1,\dots,B_n$ .

9.Докажите, что если какое-то равенство (содержащее переменные для множеств и операции $\cap$ , $\cup$ , $\setminus$ ) неверно, то можно найти контрпример к нему, в котором множества пусты или состоят из одного элемента.

10. Сколько различных выражений для множеств можно составить из переменных и с помощью (многократно используемых) операций пересечения, объединения и разности? (Два выражения считаются одинаковыми, если они равны при любых значениях переменных.) Тот же вопрос для трех множеств и для множеств. (Ответ в общем случае: $2^{2^n-1}$ .)

11. Тот же вопрос, если используются только операции $\cup$ и $\cap$ . (Для двух и трех переменных это число несложно подсчитать, но общей формулы для переменных не известно. Эту задачу называют также задачей о числе монотонных булевых функций от аргументов.)

12. Сколько существует подмножеств у - элементного множества?

13. Пусть множество содержит элементов, а его подмножество содержит элементов. Сколько существует множеств , для которых $B\hm\subset C\hm\subset A$ ?

14. Множество содержит элементов. В нем выделено подмножеств, причем ни одно из них не является подмножеством другого. Каково может быть максимальное значение числа ? (Указание. Максимум достигается, когда все подмножества имеют по элементов. В самом деле, представим себе, что мы начинаем с пустого множества и добавляем по одному элементу, пока не получится множество . В ходе такого процесса может появиться не более одного выделенного множества; с другой стороны, можно подсчитать математическое ожидание числа выделенных множеств по линейности; вероятность пройти через данное множество $Z\hm\subset U$ минимальна, когда содержит элементов, поскольку все множества данного размера равновероятны.)