НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 1: Множества

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.02.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Число элементов

Число элементов в конечном множестве называют также его мощностью и обозначают |A| (а также $\#A$ ). (Вскоре мы будем говорить о мощностях и для бесконечных множеств.) Следующая формула позволяет найти мощность объединения нескольких множеств, если известны мощности каждого из них, а также мощности всех пересечений.

Теорема 1. Формула включений и исключений.

$|A\cup B| =|A|+|B|-|A\cap B|;\\ |A\cup B \cup C| =|A|+|B|+|C|-\\ &{}-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+\\ &{}+|A\cap B\cap C|;$

вообще $|A_1\cup\ldots\cup A_n|$ равно

$\sum_{i}|A_i| - \sum_{i<j}|A_i \cap A_j| + \sum_{i<j<k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \ldots$

Доказательство. Это утверждение несложно доказать индукцией по , но мы приведем другое доказательство. Фиксируем произвольное множество , подмножествами которого являются множества $A_1, \dots, A_n$ .

Характеристической функцией множества $X\hm\subset U$ называют функцию $\chi_X$ , которая равна на элементах и на остальных элементах . Операции над подмножествами множества соответствуют операциям с их характеристическими функциями. В частности, пересечению множеств соответствует произведение характеристических функций: $\chi_{A\cap B}(u)\hm=\chi_{A}(u)\chi_{B}(u)$ . Дополнению (до ) соответствует функция $1-\chi$ , если $\chi$ - характеристическая функция исходного множества.

Число элементов множества можно записать как сумму значений его характеристической функции:

$|X|=\sum_{u} \chi_{X}(u).$

Объединение $A_1\cup\ldots\cup A_N$ можно записать как дополнение к пересечению дополнений множеств A_i

; в терминах характеристических функций имеем

$\chi_{A_1\cup\ldots\cup A_n}= 1 - (1-\chi_{A_1})\ldots (1-\chi_{A_n}).$

Раскрыв скобки в правой части, мы получим

$\sum_{i}\chi_{A_i}-\sum_{i<j}\chi_{A_i}\chi_{A_j}+ \sum_{i<j<k}\chi_{A_i}\chi_{A_j}\chi_{A_k}-\ldots$

и просуммировав левую и правую часть по всем элементам

(обе они есть функции на

), получим формулу включений и исключений.

15. Докажите, что $|A_1\bigtriangleup\ldots\bigtriangleup A_n|$ равно

$\sum_{i}|A_i| - 2\sum_{i<j}|A_i \cap A_j| + 4\sum_{i<j<k} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \ldots$

Подсчет количеств элементов в конечных множествах относят к комбинаторике. Некоторые начальные сведения из комбинаторики приведены дальше в качестве задач. Сейчас нас в первую очередь интересует следующий принцип:

если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то в них одинаковое число элементов.

(Взаимная однозначность требует, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал ровно один элемент второго и наоборот.)

Вот несколько примеров использования этого принципа.

16. На окружности выбраны 1000 белых точек и одна черная. Чего больше - треугольников с вершинами в белых точках или четырехугольников, у которых одна вершина черная, а остальные три белые? (Решение: их поровну, поскольку каждому четырехугольнику соответствует треугольник, образованный тремя его белыми вершинами.)

17. Каких подмножеств больше у 100 - элементного множества: мощности или мощности ? (Указание: $57\hm+43\hm=100$ .)

18. Докажите, что последовательностей длины , составленных из нулей и единиц, столько же, сколько подмножеств у множества $\{1,2,\dots,n\}$ . (Указание: каждому подмножеству $X\hm\subset\{1,2,\dots,n\}$ соответствует " характеристическая последовательность", на - м месте которой стоит единица, если и только если $i\hm\in X$ .)

19. Докажите, что последовательностей нулей и единиц длины , в которых число единиц равно , равно числу - элементных подмножеств - элементного множества.

Это число называется числом сочетаний из n по k и обозначается C_n^k в русских книжках; в иностранных обычно используется обозначение $\binom{n}{k}$ .

20. Докажите, что $C_n^k\hm=C_n^{n-k}$ .

21. Докажите, что $C_n^0\hm+C_n^1\hm+\ldots\hm+C_n^n\hm=2^n$ .

22. Пусть - непустое конечное множество. Докажите, что подмножеств множества , имеющих четную мощность, столько же, сколько имеющих нечетную мощность. (Указание: фиксируем элемент $u\hm\in U$ и объединим в пары подмножества, отличающиеся только в точке .

23. Докажите, что $C_n^0\hm-C_n^1\hm+C_n^2\hm-\ldots\hm+(-1)^nC_n^n\hm=0$ . (Указание: как это связано с предыдущей задачей?)

24. Докажите формулу бинома Ньютона:

$(a+b)^n= C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \ldots+C_n^k a^{n-k}b^{k}+\ldots+C_n^n b^n.$

25. Докажите, что способов расстановки скобок (указывающих порядок действий) в неассоциативном произведении из элементов столько же, сколько способов разбить выпуклый (n+1) - угольник на треугольники непересекающимися диагоналями. (Для произведения трех множителей есть два варианта (ab)c и a(bc) ; с другой стороны, есть два способа разрезать четырехугольник на два треугольника, проведя диагональ. Для произведения четырех сомножителей и для пятиугольника имеется по вариантов.)