Трансфинитная индукция

Термины " индукция" и " рекурсия" часто употребляются вперемежку. Например, определение факториала как функции , для которой при и , называют и " индуктивным", и " рекурсивным". Мы будем стараться разграничивать эти слова так: если речь идет о доказательстве чего-то сначала для , затем для , причем каждое утверждение опирается на предыдущее, то это индукция. Если же мы определяем что-то сначала для , потом для , причем определение каждого нового значения использует ранее определенные, то это рекурсия.

Наша цель - научиться проводить индуктивные доказательства и давать рекурсивные определения не только для натуральных чисел, но и для других вполне упорядоченных множеств.

Доказательства по индукции мы уже обсуждали, говоря о фундированных множествах (см. "лекцию 8" ), и сейчас ограничимся только одним примером.

Теорема 17. Пусть - вполне упорядоченное множество, а - возрастающее отображение (то есть при ). Тогда для всех .

Доказательство. Согласно принципу индукции (теорема 15) достаточно доказать неравенство , предполагая, что при всех . Пусть это не так и . Тогда по монотонности . Но, с другой стороны, элемент меньше , и потому по предположению индукции , то есть .

Если угодно, можно в явном виде воспользоваться существованием наименьшего элемента и изложить это же рассуждение так. Пусть утверждение теоремы неверно. Возьмем наименьшее , для которого . Но тогда по монотонности и потому не является наименьшим вопреки предположению.

Наконец, это рассуждение можно пересказать и так: если ,то по монотонности

но бесконечных убывающих последовательностей в фундированном множестве быть не может.

Теперь перейдем к рекурсии. В определении факториала выражалось через . В общей ситуации значение может использовать не только одно предыдущее значение функции, но и все значения на меньших аргументах. Например, можно определить функцию , сказав, что на единицу больше суммы всех предыдущих значений, то есть ; это вполне законное рекурсивное определение (надо только пояснить, что пустая сумма считается равной нулю, так что ).

112. Какую функцию задает такое определение?

Как обобщить эту схему на произвольные вполне упорядоченные множества вместо натурального ряда? Пусть вполне упорядочено. Мы хотим дать рекурсивное определение некоторой функции (где - некоторое множество). Такое определение должно связывать значение на некотором элементе со значениями при всех . Другими словами, рекурсивное определение задает , предполагая известным ограничение функции на начальный отрезок . Вот точная формулировка:

Теорема 18. Пусть - вполне упорядоченное множество. Пусть - произвольное множество. Пусть имеется некоторое рекурсивное правило, то есть отображение , которое ставит в соответствие элементу и функции некоторый элемент множества . Тогда существует и единственна функция , для которой

при всех . (Здесь обозначает ограничение функции на начальный отрезок - мы отбрасываем все значения функции на элементах, больших или равных .)

Доказательство. Неформально можно рассуждать так: значение на минимальном элементе определено однозначно, так как предыдущих значений нет (сужение пусто). Тогда и на следующем элементе значение функции определено однозначно, поскольку на предыдущих (точнее, единственном предыдущем) функция уже задана, и т.д.

Конечно, это надо аккуратно выразить формально. Вот как это делается. Докажем по индукции такое утверждение о произвольном элементе :

существует и единственно отображение отрезка в множество , для которого рекурсивное определение (равенство, приведенное в условии) выполнено при всех .

Будем называть отображение , обладающее указанным свойством, корректным. Таким образом, мы хотим доказать, что для каждого есть единственное корректное отображение отрезка в .

Поскольку мы рассуждаем по индукции, можно предполагать, что для всех это утверждение выполнено, то есть существует и единственно корректное отображение . (Корректность означает, что при всех значение совпадает с предписанным по рекурсивному правилу.)

Рассмотрим отображения и для двух различных и . Пусть, например, . Отображение определено на большем отрезке . Если ограничить на меньший отрезок , то оно совпадет с , поскольку ограничение корректного отображения на меньший отрезок корректно (это очевидно), а мы предполагали единственность на отрезке .

Таким образом, все отображения согласованы друг с другом, то есть принимают одинаковое значение, если определены одновременно. Объединив их, мы получаем некоторое единое отображение , определенное на . Применив к и рекурсивное правило, получим некоторое значение . Доопределим в точке , положив . Получится отображение ; легко понять, что оно корректно.

Чтобы завершить индуктивный переход, надо проверить, что на отрезке корректное отображение единственно. В самом деле, его ограничения на отрезки при должны совпадать с , поэтому осталось проверить однозначность в точке - что гарантируется рекурсивным определением (выражающим значение в точке через предыдущие). На этом индуктивное доказательство заканчивается.

Осталось лишь заметить, что для разных корректные отображения отрезков согласованы друг с другом (сужение корректного отображения на меньший отрезок корректно, применяем единственность) и потому вместе задают некоторую функцию , удовлетворяющую рекурсивному определению.

Существование доказано; единственность тоже понятна, так как ограничение этой функции на любой отрезок корректно и потому однозначно определено, как мы видели.

Прежде чем применить эту теорему и доказать, что из двух вполне упорядоченных множеств одно является отрезком другого, нам потребуется ее немного усовершенствовать. Нам надо предусмотреть ситуацию, когда рекурсивное правило не всюду определено. Пусть, например, мы определяем последовательность действительных чисел соотношением и начальным условием . При некоторых значениях может оказаться, что построение последовательности обрывается, поскольку тангенс не определен для соответствующего аргумента.

113. Докажите, что множество всех таких " исключительных" (когда последовательность конечна) счетно.

Аналогичная ситуация возможна и для общего случая.