НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 5: Функции

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.02.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Определяются такие понятия, как декартово произведение множеств A и B, отношение между ними, бинарное отношение на множестве A. Определяются понятия функции из A в B, область определения функции. Вводятся понятия композиции двух функций, инъекции, биекции. Большое количество самостоятельных заданий. Много определений и полных объяснений различных математических расчетов

Ключевые слова: множества, подмножество, отношение, делителем, ПО, график функции, domain, функция, область определения, индекс, композиция функций, композиция, отображение, равенство, инъекция, мощность, аксиома, объект

До сих пор мы старались ограничиваться минимумом формальностей и говорили о функциях, их аргументах, значениях, композиции и т.п. без попыток дать определения этих понятий. Сейчас мы дадим формальные определения.

Пусть и - два множества. Рассмотрим множество всех упорядоченных пар $\langle a,b\rangle$ , где $a\hm\in A$ и $b\hm\in B$ . Это множество называется декартовым произведением множеств и и обозначается $A\hm\times B$ . (К вопросу о том, что такое упорядоченная пара, мы еще вернемся)

Любое подмножество множества $A\hm\times B$ называется отношением между множествами и . Если $A\hm=B$ , говорят о бинарном отношении на множестве . Например, на множестве натуральных чисел можно рассмотреть бинарное отношение " быть делителем", обычно обозначаемое символом . Тогда можно в принципе было бы написать $\langle 2, 6\rangle\hm\in |$ и $\langle 2, 7\rangle\hm\notin |$ . Обычно, однако, знак отношения пишут между объектами (например, 2|6 ).

59.Вопрос для самоконтроля: отношения " быть делителем" и " делиться на" - это одно и то же отношение или разные? (Ответ: конечно, разные - в упорядоченной паре порядок существен.)

Если аргументами функции являются элементы множества , а значениями - элементы множества , то можно рассмотреть отношение между и , состоящее из пар вида $\langle x,f(x)\rangle$ . По аналогии с графиками функций на плоскости такое множество можно назвать графиком функции . С формальной точки зрения, однако, удобнее не вводить отдельного неопределяемого понятия функции, а вместо этого отождествить функцию с ее графиком.

Отношение $F\hm\subset A\hm\times B$ называется функцией из в , если оно не содержит пар с одинаковым первым членом и разными вторыми. Другими словами, это означает, что для каждого $a\in A$ существует не более одного $b\in B$ , при котором $\langle a,b\rangle\hm\in F$ .

Те элементы $a\in A$ , для которых такое существует, образуют область определения функции . Она обозначается $\Dom F$ (от английского слова domain). Для любого элемента $a\hm\in \Dom F$ можно определить значение функции на аргументе (" в точке ", как иногда говорят) как тот единственный элемент $b\hm\in B$ , для которого $\langle a,b\rangle\hm\in F$ . Этот элемент записывают как F(a) . Все такие элементы образуют множество значений $\Val F$ .

Если $a\notin\Dom F$ , то говорят, что функция не определена на . Заметим, что по нашему определению функция из в не обязана быть определена на всех элементах множества - ее область определения может быть любым подмножеством множества . Симметричным образом множество ее значений может не совпадать с множеством .

Если область определения функции из в совпадает с , то пишут $f\colon A\hm\to B$ .

Пример: тождественная функция $\id_A\colon A\hm\to A$ переводит множество в себя, причем $\id(a)\hm=a$ для любого $a\hm\in A$ . Она представляет собой множество пар вида $\langle a,a\rangle$ для всех $a\in A$ . (Индекс в $\id_A$ иногда опускают, если ясно, о каком множестве идет речь.)

Композицией двух функций $f\colon A \hm\to B$ и $g\colon B\hm\to C$ называют функцию $h\colon A\hm\to C$ , определенную соотношением $h(x)\hm=g(f(x))$ . Другими словами, представляет собой множество пар $\{\langle a,c\rangle \mid \langle a,b\rangle \in f \text{ и } \langle b,c\rangle \in g \text{ для некоторого b \in B\}$ . Композиция функций обозначается $g\hm\circ f$ (мы, как и в большинстве книг, пишем справа функцию, которая применяется первой).

Очевидно, композиция (как операция над функциями) ассоциативна, то есть $h\circ (f\circ g) \hm= (h\circ f)\circ g$ , поэтому в композиции нескольких подряд идущих функций можно опускать скобки.

Пусть $f\colon A\hm\to B$ . Прообразом подмножества $B'\hm\subset B$ называется множество всех элементов $x\hm\in A$ , для которых $f(x)\hm\in B'$ . Оно обозначается $f^{-1}(B')$ :

$f^{-1}(B')=\{ x \in A \mid f(x)\in B'\}.$

Образом множества $A'\hm\subset A$ называется множество всех значений функции

на всех элементах множества

. Оно обозначается

$$f(A')$: \begin{multiple} f(A')& =\{f(a)\mid a\in A'\}=\\ &= \{ b\in B\mid\langle a,b\rangle \in f \text{ для некоторого $a\in A'$}\}. \end{multiple}$

Строго говоря, обозначение f(A')

может привести к путанице (одни и те же круглые скобки употребляются и для значения функции, и для образа множества), но обычно ясно, что имеется в виду.

60. Какие из следующих равенств верны?

$\begin{align*} f(A' \cap A'') &= f(A') \cap f(A'');\\ f(A' \cup A'') &= f(A') \cup f(A'');\\ f(A' \setminus A'') &= f(A') \setminus f(A'');\\ f^{-1}(B' \cap B'') &= f^{-1}(B') \cap f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(B' \cup B'') &= f^{-1}(B') \cup f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(B' \setminus B'') &= f^{-1}(B') \setminus f^{-1}(B'');\\ f^{-1}(f(A'))&\subset A';\\ f^{-1}(f(A'))&\supset A';\\ f(f^{-1}(B') )&\subset B';\\ f(f^{-1}(B') )&\supset B';\\ (g\circ f)(A)&=g(f(A));\\ (g\circ f)^{-1}(C')&= f^{-1}(g^{-1}(C')); %(g\circ f)^{-1}(C')&= g^{-1}(f^{-1}(C')). \end{align*}$