Функции

Иногда вместо функций говорят об отображениях (резервируя термин " функция" для отображений с числовыми аргументами и значениями). Мы не будем строго придерживаться таких различий, употребляя слова " отображение" и " функция" как синонимы.

Функция называется инъективной, или инъекцией, или вложением, если она переводит разные элементы в разные, то есть если при различных и .

Функция называется сюръективной, или сюръекцией, или наложением, если множество ее значений есть все . (Иногда такие функции называют отображениями на .)

Эти два определения более симметричны, чем может показаться на первый взгляд, как показывают такие задачи:

61. Докажите, что функция является вложением тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную функцию , то есть функцию , для которой . Докажите, что функция является наложением тогда и только тогда, когда она имеет правую обратную функцию , для которой .

62. Докажите, что функция является вложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать слева: из равенства следует равенство (для любых функций , , области значений которых содержатся в ). Докажите, что функция является наложением тогда и только тогда, когда на нее можно сокращать справа: из равенства следует равенство (для любых функций , , область определения которых есть ).

Отображение (функция) , которое одновременно является инъекцией и сюръекцией (вложением и наложением), называется биекцией, или взаимно однозначным соответствием.

Если - биекция, то существует обратная функция , для которой .

63. Могут ли для некоторой функции левая и правая обратные существовать, но быть различны?

Напомним, что множества и равномощны, если существует биекция . В каком случае существует инъекция (вложение) ? Легко понять, что вложение является взаимно однозначным соответствием между и некоторым подмножеством множества , поэтому такое вложение существует тогда и только тогда, когда в есть подмножество, равномощное , - когда мощность не превосходит мощности (в смысле определения, данного в "лекцию 3" ).

Чуть менее очевиден другой результат: наложение на существует тогда и только тогда, когда мощность не превосходит мощности .

В самом деле, пусть наложение существует. Для каждого элемента найдется хотя бы один элемент , для которого . Выбрав по одному такому элементу, мы получим подмножество , которое находится во взаимно однозначном соответствии с множеством . (Здесь снова используется аксиома выбора, о которой мы говорили ранее)

В обратную сторону: если какое- то подмножество множества равномощно множеству и имеется биекция , то наложение на можно получить, доопределив эту биекцию на элементах вне каким угодно образом.

64. Найдите ошибку в этом рассуждении, не читая дальше.

На самом деле такое продолжение возможно, только если непусто, так что правильное утверждение звучит так: наложение на существует тогда и только тогда, когда непусто и равномощно некоторому подмножеству , или когда оба множества пусты.

В нашем изложении остается еще один не вполне понятный момент: что такое " упорядоченная пара "? Неформально говоря, это способ из двух объектов и образовать один объект , причем этот способ обладает таким свойством:

В принципе, можно так и считать понятие упорядоченной пары неопределяемым, а это свойство - аксиомой. Однако при формальном построении теории множеств удобно использовать трюк, придуманный польским математиком Куратовским, и избежать появления отдельного понятия упорядоченной пары. (Напомним, что обозначает множество, единственным элементом которого является , а обозначает множество, которое содержит и и не содержит других элементов. Тем самым , если .)

Теорема 9. Упорядоченная пара по Куратовскому. Определим как . Тогда выполнено указанное выше свойство:

Доказательство. Пусть . По определению это означает, что

. Теперь нужно аккуратно разобрать случаи (не путая при этом с ). Это удобно делать в следующем порядке. Пусть сначала . Тогда множество состоит из двух элементов. Раз оно принадлежит левой части равенства, то принадлежит и правой. Значит, оно равно либо , либо . Первое невозможно, так как двухэлементное множество не может быть равно одноэлементному. Значит, . С другой стороны, одноэлементное множество принадлежит левой части равенства, поэтому оно принадлежит и правой, и потому равно (поскольку не может быть равно двухэлементному). Отсюда и , что и требовалось.

Аналогично можно разобрать симметричный случай, когда .

Осталось рассмотреть ситуацию, когда и . В этом случае и потому левая часть данного нам равенства есть . Аналогичным образом, правая его часть есть , и потому , так что все четыре элемента , , , совпадают.

Заметим, что возможны и другие определения упорядоченной пары, для которых аналогичное утверждение верно, так что никакого " философского смысла" в этом определении нет - это просто удобный технический прием.

65. Докажите утверждение теоремы 9 для упорядоченной пары по Винеру: .