НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 6: Операции над мощностями

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.02.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Для мощностей характерно большое количество операций, таких как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность и др. В лекции описываются все эти операции с некоторыми доказательствами их справедливости. Также определяются свойства счетных множеств. Различные примеры, решение вопроса о разбиении множества на непересекающиеся части. Рассматриваются также важные моменты, изучение которых избавит от непредвиденных трудностей в последствии

Мощности конечных множеств - натуральные числа, и их можно складывать, умножать, возводить в степень. Эти операции можно обобщить и на мощности бесконечных множеств, и делается это так.

Пусть и - два множества. Чтобы сложить их мощности, надо взять мощность множества $A\hm\cup B$ , если и не пересекаются. Если они пересекаются, то их надо заменить на непересекающиеся равномощные им множества и . Мощность объединения и будет суммой мощностей множеств и .

Замечания.

Чтобы избежать упоминания мощностей как самостоятельных объектов, следует считать выражение " мощность множества есть сумма мощностей множеств и " идиоматическим выражением (а сказанное выше - его определением). Но мы для удобства будем часто пренебрегать такими предосторожностями.
В принципе следовало бы проверить корректность этого определения и доказать, что мощность множества $A'\hm\cup B'$ не зависит от того, какие именно непересекающиеся множества и (равномощные и ) мы выберем. (Что, впрочем, очевидно.)
Для конечных множеств получается обычное сложение натуральных чисел.
Наконец, формально следовало бы еще доказать, что такие и можно выбрать. Это можно сделать, например, так: положим $A'\hm=A\times\{0\}$ и $B'\hm=B\times\{1\}$ .

Последней проблемы не будет при определении произведения мощностей как мощности декартова произведения $A\hm\times B.$ (Но остальные замечания остаются в силе.)

Теперь определим возведение в степень. Для этого рассмотрим (для данных и ) множество всех функций вида $f\colon B\hm\to A$ (напомним: это означает, что их область определения есть , а область значений содержится в ). Это множество обозначается A^B , и его мощность и будет результатом операции возведения в степень.

Если множества и конечны и содержат и элементов соответственно, то A^B содержит как раз a^b элементов. В самом деле, определяя функцию $f\colon B\hm\to A$ , мы должны определить ее значение на каждом из элементов. Это можно сделать способами, так что получаем всего a^b вариантов.

66. Чему равно 0^0 согласно нашему определению?

Пример. Обозначим через какое- нибудь множество из двух элементов, например, $\{0,1\}$ . Что такое $2^\mathbb{N}$ ? По определению это множество функций $f\colon\mathbb{N}\hm\to\{0,1\}$ . Такие функции - это по существу последовательности нулей и единиц, только вместо $f_0f_1f_2\dots$ мы пишем $f(0), f(1), f(2), \dots$ (Формально последовательность элементов некоторого множества так и определяется - как функция типа $\bbN\hm\to X$ .)

Заметим, что 2^X равномощно P(X) (в частном случае $X\hm=\bbN$ мы это доказывали; для общего случая доказательство такое же).

Обычные свойства сложения и умножения (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность) сохраняют силу и для арифметики мощностей:

$\begin{align*} % a+b&= b+a;\\ % a+(b+c)&=(a+b)+c;\\ % a\times b&= b\times a;\\ %\end{align*} %\begin{align*} % a\times (b \times c)&= (a\times b)\times c;\\ % (a+b)\times c&= (a\times c)+(b \times c). % \end{align*}$

Формально их следует читать, избегая слова " мощность" как самостоятельного объекта: например, $a\hm\times b\hm=b\hm\times a$ означает, что $A\hm\times B$ и $B\hm\times A$ равномощны (и это легко проверить: $\langle x,y\rangle \hm\mapsto \langle y,x\rangle$ будет взаимно однозначным соответствием между ними). Остальные свойства доказываются столь же просто. Чуть сложнее свойства, включающие возведение в степень:

$\begin{align*} % a^{b+c}&=a^b\times a^c;\\ % (ab)^c&=a^c\times b^c;\\ % (a^b)^c&=a^{b\times c}. % \end{align*}$

Проверим первое из них. Из чего состоит $A^{B+C}$ ? (Будем считать, что и не пересекаются.) Его элементами являются функции со значениями в , определенные на $B\hm+C$ . Такая функция состоит из двух частей: своего сужения на (значения на аргументах из остаются теми же, остальные отбрасываются) и своего сужения на . Тем самым для каждого элемента множества $A^{B+C}$ мы получаем пару элементов из A^B и A^C . Это и будет искомое взаимно однозначное соответствие.

С соответствием между множествами $(A\times B)^C$ и $A^C\hm\times B^C$ мы тоже часто сталкиваемся. Например, элемент множества $(\bbR\hm\times\bbR)^{\bbR}$ есть отображение типа $\bbR\hm\to\bbR\hm\times\bbR$ , то есть кривая $t\hm\mapsto z(t)\hm= \langle x(t),y(t)\rangle$ на плоскости. Такая кривая задается парой функций $x,y\colon \bbR\hm\to\bbR$ .

Соответствие между (A^B)^C и $A^{(B\times C)}$ встречается несколько реже. Элемент $f\hm\in A^{(B\times C)}$ является отображением $B\hm\times C\hm\to A$ , то есть, в обычной терминологии, функцией двух аргументов (первый из , второй из ). Если зафиксировать в ней второй аргумент, то получится функция $f_c\colon B\hm\to A$ , определенная соотношением $f_c(b)\hm=f(b,c)$ (точнее, $f(\langle b,c\rangle)$ ). Отображение $с\hm\mapsto f_c$ , принадлежащее (A^B)^C , и соответствует элементу $f\hm\in A^{(B\times C)}$ . (Отчасти сходная конструкция встречается в алгебре, когда многочлен от двух переменных рассматривают как многочлен от одной переменной с коэффициентами в кольце многочленов от второй переменной.)

Мощность счетного множества символически обозначается $\aleph_0,$ мощность континуума (отрезка или множества бесконечных последовательностей нулей и единиц) обозначается $\mathfrak{c}$ . По определению, $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$ .

(Естественный вопрос: каков смысл индекса в $\aleph_0$ ? что такое, скажем, $\aleph_1$ ? Обычно $\aleph_1$ обозначает наименьшую несчетную мощность (как мы увидим, такая существует). Гипотеза континуума, о которой мы упоминали ранее, утверждает, что $\mathfrak{c}=\aleph_1$ .)

Известные нам свойства счетных множеств можно записать так:

$\aleph_0 \hm+ n \hm= \aleph_0$ для конечного (объединение счетного и конечного множеств счетно);
$\aleph_0 \hm+ \aleph_0 \hm= \aleph_0$ (объединение двух счетных множеств счетно);
$\aleph_0 \hm\times \aleph_0 \hm= \aleph_0$ (объединение счетного числа счетных множеств счетно).

Отсюда можно формально получить многие факты манипуляциями с мощностями. Например, цепочка равенств

$\mathfrak{c}\times \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}\times 2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0+\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$

показывает, что прямая и плоскость равномощны.

Аналогичным образом,

$\mathfrak{c}^{\aleph_0}= (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}= 2^{\aleph_0 \times \aleph_0}= 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}.$

67. Объясните подробно выкладку:

$\mathfrak{c}+\mathfrak{c} = 1\times\mathfrak{c}+1\times\mathfrak{c}= 2\times\mathfrak{c}=2^1\times 2^{\aleph_0} = 2^{1+\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}.$

68. Проверьте, что $\aleph_0 \times \mathfrak{c} = \mathfrak{c}$ .

Приведенные нами свойства мощностей полезно сочетать с теоремой Кантора- Бернштейна. Например, заметим, что

$\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} \le {\aleph_0}^{\aleph_0} \le \mathfrak{c}^{\aleph_0} = \mathfrak{c},$

поэтому ${\aleph_0}^{\aleph_0}= \mathfrak{c}$ (словами: множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума).

69. Последнее рассуждение неявно использует монотонность операции возведения в степень для мощностей (если $a_1\hm\le a_2$ , то $a_1^b \hm\le a_2^b$ ). Проверьте это и аналогичные свойства для других операций (впрочем, почти очевидные).

70. Установите явное соответствие между последовательностями натуральных чисел и иррациональными числами на отрезке (0,1) , используя цепные дроби, то есть дроби вида $1/(n_0\hm+1/(n_1\hm+1/(n_2+\ldots)))$ .

71. Проверьте, что $\aleph_0 ^\mathfrak{c} \hm= 2^\mathfrak{c}$ . (Напомним, что по теореме Кантора эта мощность больше мощности континуума.)

72. Какова мощность множества всех непрерывных функций с действительными аргументами и значениями? Существенна ли здесь непрерывность?

73. Какова мощность множества всех монотонных функций с действительными аргументами и значениями?

74. Может ли семейство подмножеств натурального ряда быть несчетным, если любые два его элемента имеют конечное пересечение? конечную симметрическую разность?

Впоследствии мы увидим, что для бесконечных мощностей $a\hm\times b \hm= a\hm+b \hm= \max(a,b)$ , но пока этого мы доказать не можем. Поэтому в задачах 47, 48, нам пришлось воспользоваться обходным маневром, чтобы доказать, что из $a\hm+b\hm=\mathfrak{c}$ следует $a\hm=\mathfrak{c}$ или $b\hm=\mathfrak{c}$ . Следующее утверждение обобщает этот прием:

Теорема 10. Если множество $A_1\hm\times A_2\hm\times\ldots\times A_n$ разбито на непересекающиеся части $B_1, \dots, B_n$ , то найдется такое , при котором мощность B_i не меньше мощности A_i .

Доказательство. В самом деле, рассмотрим проекцию множества $B_i\hm\subset A_1\hm\times\ldots\hm\times A_n$ на A_i . Если хотя бы при одном она покрывает A_i полностью, то все доказано. Если нет, выберем для каждого непокрытую точку x_i . Набор $\langle x_1,\dots,x_n\rangle$ не входит ни в одно из множеств B_i , что противоречит предположению.

Заметим, что в формулировке этого утверждения (которое иногда называют теоремой Кенига) говорится о декартовом произведении конечного числа множеств, которое можно определить индуктивно (скажем, $A\hm\times B\hm\times C$ будет состоять из троек $\langle a,b,c\rangle$ , которые суть пары $\langle \langle a,b\rangle,c\rangle$ ). Декартово произведение счетного числа множеств уже так не определишь. Выход такой: $A_0\hm\times A_1\hm\times A_2 \hm\times\ldots$ (счетное число сомножителей) можно определить как множество всех последовательностей $a_0, a_1, a_2, \dots$ , у которых $a_i\hm\in A_i$ , то есть как множество всех функций , определенных на $\bbN$ со значениями в объединении всех A_i , причем $a(i)\in A_i$ при всех . После такого определения теорема 10 легко переносится и на счетные (а также и на любые) произведения.

Переходя к отрицаниям, теорему Кенига можно сформулировать так: если при всех $i=0,1,2,\ldots$ для мощностей a_i и b_i выполнено неравенство $b_i \hm< a_i$ , то

$b_0 + b_1 + b_2 + \ldots < a_0 \times a_1 \times a_2\times\ldots$

Учитывая, что $\mathfrak{c}\hm\times\mathfrak{c}\hm\times\ldots$ (счетное произведение) равно $\mathfrak{c}^{\aleph_0}$ , то есть $\mathfrak{c}$ , можно сформулировать такое следствие теоремы Кенига: если континуум разбит на счетное число подмножеств, то одно из них имеет мощность континуума.

75. Докажите подробно это утверждение.

76. Пусть $a_0,a_1,a_2,\ldots$ - мощности, причем $a_i\ge 2$ для всех . Покажите, что

$a_0 + a_1 + a_2 + \ldots \le a_0 \times a_1 \times a_2\times\ldots$

77. Пусть $m_0 < m_1 < m_2 <\dots$ - возрастающая последовательность мощностей. Докажите, что сумма $m_0\hm+m_1\hm+m_2\hm+\ldots$ не представима в виде $a^{\aleph_0}$ ни для какой мощности .

Дальше >>

Введение в теорию множеств

Введение в теорию множеств

Операции над мощностями

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в теорию множеств

Введение в теорию множеств

Операции над мощностями

Вопросы и ответы

Студенты