Приложения ординалов

В большинстве случаев рассуждения с использованием трансфинитной индукции и ординалов можно заменить ссылкой на лемму Цорна; при этом рассуждение становится менее наглядным, но формально более простым. Тем не менее бывают ситуации, когда этого сделать не удается (по крайней мере, неясно, как бы это следовало делать), и приходится пользоваться вполне упорядоченными множествами в явном виде. В этом разделе мы приведем два подобных примера.

Первый из них касается борелевских множеств. (Для простоты мы рассматриваем подмножества действительной прямой.) Семейство подмножеств действительной прямой называется - алгеброй, если оно замкнуто относительно конечных и счетных пересечений и объединений, а также относительно перехода к дополнению. (Это означает, что вместе с каждым множеством это семейство содержит его дополнение , и вместе с любыми множествами , , семейство содержит их объединение и пересечение ) Пример: семейство всех подмножеств прямой, очевидно, является - алгеброй.

Теорема 43.Существует минимальная - алгебра, содержащая все отрезки на прямой.

Доказательство. Формально можно рассуждать так: рассмотрим все возможные - алгебры, содержащие отрезки. Их пересечение будет - алгеброй, и тоже будет содержать все отрезки. (Вообще пересечение любого семейства - алгебр будет - алгеброй - это очевидное следствие определения.) Эта - алгебра и будет искомой.

Множества, входящие в эту минимальную - алгебру, называют борелевскими.

142. Докажите, что всякое открытое и всякое замкнутое подмножество прямой является борелевским. (Указание: открытое множество есть объединение содержащихся в нем отрезков с рациональными концами.)

143. Докажите, что прообраз любого борелевского множества при непрерывном отображении является борелевским множеством.

144. Пусть , , - последовательность непрерывных функций с действительными аргументами и значениями. Докажите, что множество точек , в которых последовательность , , имеет предел, является борелевским.

Борелевские множества играют важную роль в дескриптивной теории множеств. Но мы хотим лишь продемонстрировать использование трансфинитной индукции (вряд ли легко заменяемой на использование леммы Цорна) на примере следующей теоремы:

Теорема 44 Семейство всех борелевских множеств имеет мощность континуума.

Доказательство. Класс борелевских множеств можно строить постепенно. Начнем с отрезков и дополнений к отрезкам. На следующем шаге рассмотрим всевозможные счетные пересечения и объединения уже построенных множеств (отрезков и дополнений к ним).

145. Докажите, что при этом получатся (среди прочего) все открытые и все замкнутые подмножества прямой.

Далее можно рассмотреть счетные объединения и пересечения уже построенных множеств и т.д.

Более формально, пусть - семейство множеств, состоящее из всех отрезков и дополнений к ним. Определим по индукции как семейство множеств, являющихся счетными объединениями или пересечениями множеств из .

Все семейства состоят из борелевских множеств (поскольку счетное объединение или пересечение борелевских множеств является борелевским). Исчерпывают ли они все борелевские множества? Вообще говоря, нет: если мы возьмем по одному множеству из каждого класса для всех и рассмотрим их счетное пересечение, то оно вполне может не принадлежать ни одному из классов. Поэтому мы рассмотрим класс , представляющий собой объединение всех по всем натуральным , затем , и т.д. Объединение этой последовательности классов естественно назвать и продолжить построение.

Дадим формальное определение для любого ординала . Это делается с помощью трансфинитной рекурсии. Именно, при элементами класса будут счетные объединения и пересечения множеств из класса . Если - предельный ординал, отличный от , то класс представляет собой объединение всех по всем . (Класс мы уже определили.)

Из определения следует, что при , так что мы получаем возрастающую цепь классов. Каждый класс замкнут относительно перехода к дополнению (для начального класса мы об этом позаботились, далее по индукции). Все классы содержатся в классе борелевских множеств, так как мы применяем лишь операции счетного объединения и пересечения, относительно которых класс борелевских множеств замкнут.

Возникает вопрос: как далеко нужно продолжать эту конструкцию? Оказывается, что достаточно дойти до первого несчетного ординала.

Пусть - наименьший несчетный ординал. (Это - стандартное для него обозначение.) Другими словами, есть семейство всех счетных ординалов, упорядоченных отношением на ординалах.