НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 4: Показатель размытости нечетких множеств. Нечеткие меры и интегралы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 36 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Супераддитивные меры

Функция доверия. Определение функции доверия предполагает, что степень доверия высказыванию , которое является истинным, не обязательно равна 1. Это означает, что сумма степеней доверия высказыванию и его отрицанию $\bar A$ также не обязательно равна 1, а может быть либо равной, либо меньшей 1. Другими словами, когда высказывание является истинным с определенной степенью $s\in [0,1]$ , его мера неопределенности выражается с помощью функции

$b(B) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B = X;} \\ {s,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B \supset A,\;B \ne X;} \\ {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {B\not \supset A;} \\ \end{array} } \right.$

которая называется простой функцией носителя, сосредоточенной на

.

Если s=1 , то получаем меру, которая называется мерой определенности, сосредоточенной на .

Если s=0 или A=X , то тогда b(B) называется пустой функцией доверия (полное незнание).

Итак, функция доверия — это мера, удовлетворяющая следующим свойствам:

$b(\varnothing ) = 0;$
$b(X) = 1;$
$\forall A \in \wp \quad \;0 \leqslant b \leqslant 1;$
$\displaystyle \forall A_1 ,\ldots ,A_n \in \wp \quad b(A_1 \cup \ldots \cup A_n ) \geqslant$
$\displaystyle \quad \quad \geqslant \;\sum\limits_{i = 1}^n {b(A_i )} - \sum\limits_{i < j} {b(A_i \cap A_j )} + \ldots + ( - 1)^{n + 1} b(A_1 \cap \ldots A_n ).$

Согласованная функция доверия. Понятие согласованной функции доверия базируется на определении ядра $C = \{ B \subset X|m(B) >0\}$ , полностью упорядоченного по вложению.

Согласованная функция доверия определяется с помощью следующих аксиом:

$b(\varnothing ) = 0;$
$b(X) = 1;$
$b(A \cap B) = \min \{ b(A),b(B)\} .$

Субаддитивные меры

Мера правдоподобия

Мера правдоподобия множества из определяется как

$Pl(A) = 1 - b(\bar A),$

где

— функция уверенности.

Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам:

$Pl(\varnothing ) = 0;$
$Pl(X) = 1;$
$\forall A_1 ,\ldots ,A_n \subseteq X\quad Pl(A_1 \cap \ldots \cap A_n )\leqslant$
$\displaystyle \quad \quad \leqslant \sum\limits_{i = 1}^n {Pl(A_i^{} )} - \sum\limits_{i < j} {Pl(A_i \cup A_j )} + \ldots + ( - 1)^{n + 1} Pl(A_1 \cup \ldots \cup A_n ).$

Пусть $\mu$ и $\nu$ - две меры - такие, что $\forall A \in \wp \quad \mu (A) + \nu (\bar A) = 1$ . В этом случае $\mu$ является функцией доверия тогда и только тогда, если $\nu$ — мера правдоподобия.

Мера возможности

Мерой возможности называется функция $\Pi :\wp \to [0,1]$ , удовлетворяющая следующим аксиомам:

$\Pi (\varnothing ) = 0;$
$\Pi (X) = 1;$
$\displaystyle \forall i \in N,\;A_i \subset X,\quad \Pi \left( {\mathop \cup \limits_{i \in N} \;A_i } \right) = \mathop {\sup }\limits_{i \in N} \;\Pi (A_i ).$
где — множество натуральных чисел.

Пусть $\mu$ и $\nu$ - две меры - такие, что $\forall A \in \wp \quad \mu (A) + \nu (\bar A) = 1$ . Нечеткая мера $\mu$ является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, если $\nu$ является мерой возможности.

увеличить изображение
Рис. 4.1.

Мера вероятности

Вероятностная мера ( $\lambda =0$ ) является частным случаем функции доверия или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера является вероятностной мерой тогда и только тогда, если выполняются следующие условия:

$p(\varnothing ) = 0;$
$p(X) = 1;$
$\displaystyle \forall i \in N,\;A_i \subset X,\forall i \leqslant j\quad \left( {A_i \cap A_j = \varnothing \Rightarrow p\left( {\mathop \cup \limits_{i \in N} \;A_i } \right) = \sum p (A_i )} \right).$

g_v -мера

Нечеткая мера $g_{v}$ называется $g_{v}$ -мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

$g_v (\varnothing ) = 0;$
$g_v (X) = 1;$
$\forall i \in N,\;A_i \in \wp ,\;\forall i \ne j$
$\displaystyle A_i \cap A_j = \varnothing \Rightarrow g_v \left( {\mathop \cup \limits_{i \in N} A_i } \right) = (1 - v)\mathop \vee \limits_{i \in N} g_v (A_i ) + v\sum\limits_{i \in N} {g_v (A_i ),\;v \geqslant 0;}$
$\forall A,B \in \wp \quad \left( {A \subseteq B\quad \Rightarrow \quad g_v (A) \leqslant g_v (B)} \right).$

Очевидно, что при v=0 , $g_{v}$ -мера является мерой возможности, а при v=1 — вероятностной мерой. Если v>1 , то $g_{v}$ -мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.