НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 2: Нечеткие отношения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Аннотация: В лекции определяется понятие нечеткого отношения, описываются свойства нечетких отношений и операции над ними. Рассматриваются вопросы декомпозиции и транзитивного замыкания нечетких отношений. Дается определение проекции нечеткого отношения.

Ключевые слова: нечеткое отношение, приложение, связь, анализ, нечеткое отношения, арным отношением, подмножество, грани, операция пересечения, операции, отрезок, множества, Универсальное множество, интерпретация, взвешенный граф, граф, объединение, пересечение, отношение, отношение частичного порядка, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, операция композиции, определение, антирефлексивность, иерархия, значение, транзитивность, разбиение множества, транзитивное замыкание, рефлексивность, симметричность, проекция нечеткого отношения, функция принадлежности, проекция

Нечеткие отношения играют фундаментальную роль в теории нечетких систем. Аппарат теории нечетких отношений используется при построении теории нечетких автоматов, при моделировании структуры сложных систем, при анализе процессов принятия решений.

Основные определения

Теория нечетких отношений находит также приложение в задачах, в которых традиционно применяется теория обычных (четких) отношений. Как правило, аппарат теории четких отношений используется при качественном анализе взаимосвязей между объектами исследуемой системы, когда связи носят дихотомический характер и могут быть проинтерпретированы в терминах "связь присутствует", "связь отсутствует", либо когда методы количественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам неприменимы и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотомическому виду. Например, когда величина связи между объектами принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако, подобный подход, позволяя проводить качественный анализ систем, приводит к потере информации о силе связей между объектами либо требует проведения вычислений при разных порогах на силу связей. Этого недостатка лишены методы анализа данных, основанные на теории нечетких отношений, которые позволяют проводить качественный анализ систем с учетом различия в силе связей между объектами системы.

Обычное неразмытое -арное отношение определяется как подмножество декартова произведения множеств

$R \subseteq X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n .$

Подобно нечеткому множеству, нечеткое отношение можно задать с помощью его функции принадлежности

$\mu _R :X_1 \times \ldots \times X_n \to L,\vspace{-2mm}$

где в общем случае будем считать, что

— это полная дистрибутивная решетка. Таким образом,

— это частично упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани и операции пересечения и объединения в

удовлетворяют законам дистрибутивности. Все операции над нечеткими отношениями определяются с помощью этих операций из

. Например, если в качестве

взять ограниченное множество вещественных чисел, то операциями пересечения и объединения в

будут, соответственно, операции $\min$ и $\max$ , и эти операции будут определять и операции над нечеткими отношениями.

Далее мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных нечетких отношений, являющихся отображением на отрезок [0,1] , т.е. $\mu _R \colon X \times Y \to \left[ {0,1} \right]$ .

Если множества и конечны, нечеткое отношение между и можно представить с помощью его матрицы отношения, первой строке и первому столбцу которой ставятся в соответствие элементы множеств и , а на пересечении строки и столбца помещается элемент $\mu_{R}(x,y)$ (см. табл.2.1).

Таблица 2.1.

0	1	0,5	0,8
0,7	0	0,6	0,3
0	0,7	1	0,4

В случае, когда множества и совпадают, нечеткое отношение называют нечетким отношением на множестве X.

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде взвешенного графа, в котором каждая пара вершин (x,y) из $X\times Y$ соединяется ребром с весом R(x,y) .

Пример. Пусть $X={x_{1},x_{2}}$ и $Y={y_{1},y_{2},y_{3}}$ , тогда нечеткий граф, изображенный на рис рис. 2.1, задает некоторое нечеткое отношение $R\hm\subset X\times Y$ .