Лекция 4: Показатель размытости нечетких множеств. Нечеткие меры и интегралы

Нечеткие интегралы

Определение. Нечеткий интеграл от функции на множестве по нечеткой мере определяется как

нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием.

Определение. Нечеткий интеграл от функции на нечетком множестве по нечеткой мере определяется как

Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких мер используется общее понятие "степень нечеткости". В общем случае оно включает в себя "степень важности", "степень уверенности" и как отдельный случай - "степень принадлежности" в теории нечетких множеств. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения. Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента множеству . Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна , а для ( ) равна , т.е. степень принадлежности для будет больше, чем для , если . Если степень принадлежности равна , а вместо задано нечеткое подмножество , то

Это говорит о том, что степень нечеткости суждения " " равна степени принадлежности нечеткому подмножеству . Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер включает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких множеств.

Применение нечетких мер и интегралов для решения слабо структурированных задач

Процесс субъективного оценивания

Рассмотрим задачу субъективного оценивания некоторым индивидом нечетко описываемых объектов, таких как дом, лицо и т.п. Предположим, что объект характеризуется показателями.

Пусть — множество показателей. При оценивании дома такими показателями могут быть: — площадь, — удобства и т.д. В общем случае множество не обязательно должно быть множеством физических показателей, оно может быть множеством мнений, критериев и т.п.

Пусть — частная оценка объекта, т.е. — оценка элемента . Если речь идет о распознавании образов, то может рассматриваться как характеристическая функция образа. На практике может быть легко определена объективно или субъективно. Например, когда объект — дом, объективно имеем оценку , которая может быть нормализована числом из интервала .

Предположим, что нечеткая мера для является субъективной мерой, выражающей степень важности подмножества из . Например, выражает степень важности элемента при оценке объекта, — аналогично обозначает степень важности показателей и . Необходимо отметить, что степень важности всего множества равна единице.

Вычисляя нечеткий интеграл от до , получаем

Данное уравнение представляет собой свертку частных оценок. Линейный обобщенный критерий используется обычно в том случае, когда отдельные показатели взаимно независимы. Свертка же может быть очень полезной, когда существует взаимозависимость показателей, что характерно для большинства задач выбора в нечеткой среде.

Экспериментальное определение нечеткой меры

Рассмотрим метод приближенного экспериментального определения нечеткой меры. Предположим, что существует объектов. Пусть — частная оценка -го объекта, а — общая оценка. Предъявляя индивиду объекты и их частные оценки, можно получить его субъективные оценки из интервала для всех объектов.

Обозначим и аналогично . Производя нормализацию , мы имеем

Субъективная нечеткая мера может быть получена при условии минимума критерия

Впервые нечеткие меры применялись для оценки сходства одномерных образов. Например, рассматривалось решение задачи оценки домов. При этом дома оценивались по следующим пяти показателям: площадь, удобства и обстановка, окружающая среда, стоимость, время, требуемое на дорогу до места работы. Известны применения нечетких мер для оценки привлекательности экскурсионных районов, которые оценивались по таким показателям, как красота природы, архитектурные памятники и т.п. Результаты оценок использовались для прогнозирования числа экскурсий в ближайшие десять лет.