НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 4: Показатель размытости нечетких множеств. Нечеткие меры и интегралы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 36 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Нечеткие меры

При решении многих задач анализа сложных систем в условиях неопределенности широко используются методы теории вероятностей и математической статистики. Эти методы предполагают вероятностную интерпретацию обрабатываемых данных и полученных статистических выводов. В последнее время возрастает потребность в новых подходах к математическому описанию информации, характеризующейся высоким уровнем неопределенности. Один из возможных подходов может основываться на обобщении понятия меры и построении нечетких мер, свободных от ряда ограничений вероятностной меры.

Существуют различные интерпретации понятия вероятности. Это — классическая частотная интерпретация Лапласа, субъективная вероятность по Байесу и т.д. Наиболее содержательной с математической точки зрения является аксиоматическая трактовка вероятности А.Н.Колмогорова с помощью теории меры.

Мерой называется функция множества $m\colon\rho (X)\to R$ , удовлетворяющая следующим аксиомам:

$A \subseteq X\quad \Leftrightarrow \quad m(A) \geqslant 0;$
$m(\varnothing ) = 0;$
$A,B \in \rho (X)\quad \Rightarrow \quad m(A \cup B) = m(A) + m(B) - m(A \cap B).$

Здесь $\rho(X)$ — множество всех подмножеств , а — множество действительных чисел. При R=[0,1] эти аксиомы определяют вероятностную меру.

Под субъективной вероятностной мерой понимается степень уверенности в данном событии, возникающая у человека на основе известных ему данных. Она всегда зависит от индивидуального опыта и поэтому различна для разных людей. Неясность суждений, основанных на субъективном анализе, обусловливает многие трудности, которые возникают при использовании субъективной вероятности.

Субъективную вероятность можно рассматривать как индивидуальный способ обработки тех аспектов субъективных данных, которые доступны индивидуальному суждению. Однако чаще всего такие суждения неаддитивны. Реальное поведение человека, как правило, противоречит предположению об аддитивности мер, которые он использует при оценке событий. В отличие от субъективной вероятности, нечеткая мера свободна от весьма ограничивающего требования аддитивности, что делает ее особенно привлекательной для решения ряда задач при наличии неопределенности типа нечеткости.

В настоящее время существует тенденция вероятностной трактовки нечетких множеств. Следует отметить, что, с точки зрения теории меры, такой подход видится неоправданным, поскольку понятие вероятностной меры является сужением понятия нечеткой меры. Для сравнения рассмотрим обе теоретико-мерные трактовки вероятности и нечеткости.

Пусть $(X, \wp,p)$ — вероятностное пространство. Здесь $\wp$ — минимальная $\sigma$ -алгебра, содержащая все открытые подмножества множества , а — вероятностная мера, т.е. функция множества $p\colon\wp\to [0,1]$ , удовлетворяющая аксиомам (1)—(3). С другой стороны, нечеткое множество описывается функцией принадлежности $\mu$ , принимающей свои значения в интервале [0,1] . С точки зрения теории отображений $p\colon\wp\to [0,1]$ и $\mu\colon X\to [0,1]$ — совершенно разные объекты. Вероятность определяется в $\sigma$ -алгебре $\wp$ и является функцией множества, а $\mu(x)$ есть обычная функция, областью определения которой является множество . Поэтому понятия вероятности и нечеткого множества не имеет смысла сравнивать на одном уровне абстрагирования.

Определение. Функция , определяемая в виде $g\colon\wp\to [0,1]$ , называется нечеткой мерой, если она удовлетворяет следующим условиям:

$g(\varnothing ) = 0;$
$g(X) = 1;$
$A,B \in \wp \;\;\& \;A \subset B\quad \Rightarrow \quad g(A)\leqslant g(B);$
$\(\{ F_n \}$ — монотонная последовательность $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } g(F_n ) {=} g\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } F_n } \right)\!\$ !.

Тройка $(X, \wp,g)$ называется пространством с нечеткой мерой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие аддитивности: $g(A \cup B) \ne g(A) + g(B)$ . Таким образом, нечеткая мера является однопараметрическим расширением вероятностной меры.

Выражение g(A) представляет собой меру, характеризующую степень нечеткости , т.е. оценку нечеткости суждения " $X\in A$ " или степень субъективной совместимости с . Нетрудно увидеть, что монотонность меры влечет за собой

$\begin{gathered} \forall A,B \in \wp \;g(A \cup B) \geqslant \max \{ g(A),g(B)\} ; \hfill \\ \forall A,B \in \wp \;g(A \cap B) \leqslant \min \{ g(A),g(B)\} . \hfill \\ \end{gathered}$

Для построения нечетких мер используют следующее $\lambda$ -правило. Пусть $A,B \in \wp ,\;\;A \cap B = \varnothing$ . Тогда

$g_\lambda (A \cup B) = g_\lambda (A) + g_\lambda (B) + \lambda \cdot g_\lambda (A) \cdot g_\lambda (B),\quad - 1 < \lambda < \infty .$

В случае $A \cup B = X$ данное выражение называют условием нормировки для $g_{\lambda}$ -мер. Очевидно, что $g_{\lambda} (X)=1$ , $g_{\lambda} ( \varnothing)=0$ . Параметр $\lambda$ называется параметром нормировки $g_{\lambda}$ -меры. При $\lambda > 0,\) $g_\lambda (A \cup B) > g_\lambda (A) + g_\lambda (B)$ имеем класс супераддитивных мер, а при $- 1 < \lambda < 0$, \(g_\lambda (A \cup B) < g_\lambda (A) + g_\lambda (B)$ получаем класс субаддитивных мер.