Свойства линейного пространства
Линейные пространства
Вывод свойств линейного пространства из аксиом
Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств, с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк Kn, столбцов , пространства прямоугольных и квадратных матриц и , пространство многочленов K[x], пространство непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] и т. д.), оправдывают введение и рассмотрение понятия линейного пространства K V над полем K как множества V с операцией сложения ( , ) и операциями умножения на элементы ( , ), удовлетворяющими следующим условиям:
I.1) ассоциативность сложения (т. е. (u+v)+w=u+(v+w) для всех );
I.2) коммутативность сложения (т. е. u+v=v+u для всех );
I.3) существование нейтрального элемента 0 для операции сложения (т. е. v+0=v для всех );
I.4) существование противоположного элемента -v для всякого (т. е. v+(-v)=0 );
II.1) для всех ;
II.2) (rs)v=r(sv) для всех , ;
III.1) r(v1+v2)=rv1+rv2 для всех , ;
III.2) (r+s)v=rv+sv для всех , .
Приведем вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).
-
Уравнение u+x=v для имеет, причем единственное, решение x=(-u)+v.
Действительно, прибавляя -u к левой и правой части, получаем, что x = (-u)+v. С другой стороны, u+(-u)+v=v.
-
Если x+x=x для , то x=0.
Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -x, получаем, что x=(-x)+x+x=(-x)+x=0.
-
0v=0 для любого .
Действительно, если x=0v (здесь ), то x+x=0v+0v=(0+0)v=0v=x, и поэтому .
-
r0=0 для , .
Действительно, если x=r0, то x+x=r0+r0=r(0+0)=r0=x, и поэтому x=0.
-
(-1)v=-v для всех .
Действительно, (-1)v+v=(-1+1)v=0v=0, т. е. (-1)v=-v.
-
rv=0 для , тогда и только тогда, когда либо r=0, либо v=0.
Действительно, если , то в поле K существует элемент , и поэтому v=1v=r-1rv=r-10=0.
-
r(u-v)=ru-rv для всех , .
Действительно, r(u-v)+rv=r(u-v+v)=ru, т. е. r(u-v)=ru-rv.
-
-(-v)=v для всех .
Действительно, v+(-v)=0, и поэтому -(-v)=v.
Линейная зависимость в линейных пространствах
Пусть K V - линейное пространство над полем K. Если , , то элемент
называется линейной комбинацией элементов v1,...,vr с коэффициентами .Систему элементов назовем линейно зависимой, если найдутся элементы такие, что
а) не все ki равны нулю (т. е. хотя бы один элемент ki отличен от нуля);
б) k1v1+k2v2+...+krvr=0.
Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что "нетривиальная" линейная комбинация элементов v1,...,vr равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю, 0v1+...+0 vr=0 ).
Система элементов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, это означает, что из равенства
следует, что k1=k2=...=kr=0.Теорема 9.2.1. Система элементов линейно зависима тогда и только тогда, когда для некоторого i, ,
(т. е. элемент vi является линейной комбинацией остальных элементов системы v1,...,vr ).Доказательство.
- Пусть система v1,...,vr линейно зависима, т. е. Тогда
- Если то т. е. система v1,...,vr линейно зависима, поскольку .
Пример 9.2.2. Если в системе элементов есть нулевой элемент, скажем, vi=0, то система v1...,vr линейно зависима.
Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+0 vr=0, или, другим способом, .
Пример 9.2.3. Если vi=vj для , то система линейно зависима.
Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+(-1) vj+...+0 vr=0, или, иначе, .
Пример 9.2.4. Система строк , где
линейно независима. Кроме того, любая строка является линейной комбинацией элементов , а именно, .Действительно,
и поэтому если то k1=k2=...=kn=0, следовательно, система строк линейно независима.Пример 9.2.5. Пусть - линейно независимая система в линейном пространстве R V. Тогда u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v2+v3 - также линейно независимая система.
Действительно, если k1 u1 + k2 u2 + k3 u3 = 0, то
поэтому Следовательно, k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0, и система элементов u1,u2,u3 линейно независима.Упражнения 9.2.6.
- Подсистема линейно независимой системы линейно независима.
- Если подсистема линейно зависима, то линейно зависима и вся система.
Замечание 9.2.7. Для системы строк в Kn
вопрос о ее линейной зависимости равносилен существованию ненулевого решения (k1,...,kr) следующей однородной системы линейных уравнений: с транспонированной матрицей A*, где Таким образом, метод Гаусса дает нам в этом случае алгоритмическое решение задачи о линейной зависимости строк.Теорема 9.2.8. Пусть - квадратная матрица. Тогда следующие условия равносильны:
- |A|=0 ;
- система строк A1, ..., An матрицы A линейно зависима (в пространстве строк Kn );
- система столбцов матрицы A линейно зависима (в пространстве столбцов ).
Доказательство.
- Если строки матрицы A линейно зависимы, скажем, i -я строка Ai является линейной комбинацией остальных, , то, как мы показали, |A|=0, т. е. .
- Пусть |A|=0. Тогда k1 A1 + ... + kn An = 0 в том и только в том случае, если (k1, ..., kn) является решением однородной системы линейных уравнений с матрицей A*. Так как |A*| = |A| = 0, то существует ненулевое решение (k1, ..., kn), т. е. система строк A1, ..., An матрицы A линейно зависима. Итак, .
- Так как |A*| = |A|, то .
Задача 9.2.9. Пусть , , где bij=Aji. Покажите, что если |A|=0, то |B|=0.
Теорема 9.2.10. Любая система из m строк в Kn при m > n линейно зависима.
Доказательство. Если
то равенство равносильно тому, что (k1, ..., km) является решением следующей однородной системы линейных уравнений: Так как число n уравнений меньше числа m переменных, то однородная система обладает ненулевым решением, т. е. система линейно зависима.Следствие 9.2.11. Если система линейно независима, то .
Лемма 9.2.12. Если система элементов линейного пространства K V над полем K линейно независима, и система линейно зависима, то является линейной комбинацией элементов .
Доказательство. Пусть
где не все ki, , равны нулю. Если бы kr+1=0, то нетривиальная линейная комбинация , равная нулю, означала бы, что система линейно зависима, что противоречит предположению.Итак, , и поэтому
Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства KV в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов). Пусть - линейно независимая система элементов линейного пространства K V и
Тогда k1=k'1,...,kr=k'r.Доказательство. Действительно,
и поэтому k1 - k'1=0,...,kr - k'r=0.