Линейные пространства

Вывод свойств линейного пространства из аксиом

Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств, с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк Kⁿ, столбцов \[ \hat K^n \] , пространства прямоугольных и квадратных матриц \[ \mM_{m,n}(K) \] и \[ \mM_{n}(K) \] , пространство многочленов K[x], пространство непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] и т. д.), оправдывают введение и рассмотрение понятия линейного пространства _K V над полем K как множества V с операцией сложения ( \[ V\times V\to V \] , \[ (a,b)\mapsto a+b \] ) и операциями умножения на элементы \[ c\in K \] ( \[ V\to V \] , \[ v\mapsto cv \] ), удовлетворяющими следующим условиям:

I.1) ассоциативность сложения (т. е. (u+v)+w=u+(v+w) для всех \[ u,v,w\in V \] );

I.2) коммутативность сложения (т. е. u+v=v+u для всех \[ u,v\in V \] );

I.3) существование нейтрального элемента 0 для операции сложения (т. е. v+0=v для всех \[ v\in V \] );

I.4) существование противоположного элемента -v для всякого \[ v\in V \] (т. е. v+(-v)=0 );

II.1) \[ 1\cdot v=v \] для всех \[ v\in V \] ;

II.2) (rs)v=r(sv) для всех \[ r,s\in K \] , \[ v\in V \] ;

III.1) r(v₁+v₂)=rv₁+rv₂ для всех \[ r\in K \] , \[ v_1,v_2\in V \] ;

III.2) (r+s)v=rv+sv для всех \[ r,s\in K \] , \[ v\in V \] .

Приведем вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).

1. Уравнение u+x=v для \[ u,v\in {}_K V \] имеет, причем единственное, решение x=(-u)+v.

   Действительно, прибавляя -u к левой и правой части, получаем, что x = (-u)+v. С другой стороны, u+(-u)+v=v.

2. Если x+x=x для \[ x\in {}_K V \] , то x=0.

   Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -x, получаем, что x=(-x)+x+x=(-x)+x=0.

3. 0v=0 для любого \[ v\in {}_K V \] .

   Действительно, если x=0v (здесь \[ 0\in K \] ), то x+x=0v+0v=(0+0)v=0v=x, и поэтому \[ x=0\in {}_K V \] .

4. r0=0 для \[ r\in K \] , \[ 0\in V \] .

   Действительно, если x=r0, то x+x=r0+r0=r(0+0)=r0=x, и поэтому x=0.

5. (-1)v=-v для всех \[ v\in V \] .

   Действительно, (-1)v+v=(-1+1)v=0v=0, т. е. (-1)v=-v.

6. rv=0 для \[ r\in K \] , \[ v\in V \] тогда и только тогда, когда либо r=0, либо v=0.

   Действительно, если \[ r\neq 0 \] , то в поле K существует элемент \[ r^{-1}\in K \] , и поэтому v=1v=r^-1rv=r^-10=0.

7. r(u-v)=ru-rv для всех \[ r\in K \] , \[ u,v\in V \] .

   Действительно, r(u-v)+rv=r(u-v+v)=ru, т. е. r(u-v)=ru-rv.

8. -(-v)=v для всех \[ v\in V \] .

   Действительно, v+(-v)=0, и поэтому -(-v)=v.

Линейная зависимость в линейных пространствах

Пусть _K V - линейное пространство над полем K. Если \[ v_1,...,v_r\in V \] , \[ k_1,...,k_r\in K \] , то элемент \[ k_1v_1+...+k_rv_r\in V \] называется линейной комбинацией элементов v₁,...,v_r с коэффициентами \[ k_1,...,k_r\in K \] .

Систему элементов \[ v_1,...,v_r \in {}_K V \] назовем линейно зависимой, если найдутся элементы \[ k_1,...,k_r\in K \] такие, что

а) не все k_i равны нулю (т. е. хотя бы один элемент k_i отличен от нуля);

б) k₁v₁+k₂v₂+...+k_rv_r=0.

Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что "нетривиальная" линейная комбинация элементов v₁,...,v_r равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю, 0v₁+...+0 v_r=0 ).

Система элементов \[ v_1,...,v_r\in {}_K V \] называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, это означает, что из равенства \[ k_1v_1+...+k_rv_r=0,\quad k_1,...,k_r\in K, \] следует, что k₁=k₂=...=k_r=0.

Теорема 9.2.1. Система элементов \[ v_1,...,v_r \in {}_K V \] линейно зависима тогда и только тогда, когда для некоторого i, \[ 1\le i\le r \] , \[ v_i=\sum_{j\neq i}l_jv_j,\quad l_j\in K \] (т. е. элемент v_i является линейной комбинацией остальных элементов системы v₁,...,v_r ).

Доказательство.

1. Пусть система v₁,...,v_r линейно зависима, т. е. \[ k_1v_1+...+k_rv_r=0,\quad k_i\neq 0. \] Тогда \[ v_i=\sum_{j\neq i}\frac{(-k_j)}{k_i}v_j. \]
2. Если \[ v_i=\sum_{j\neq i}l_jv_j, \] то \[ \sum_{j\neq i} l_jv_j+(-1)v_i= v_i+(-1)v_i = 0, \] т. е. система v₁,...,v_r линейно зависима, поскольку \[ -1\neq 0 \] .

Пример 9.2.2. Если в системе элементов \[ v_1,...,v_r\in {}_K V \] есть нулевой элемент, скажем, v_i=0, то система v₁...,v_r линейно зависима.

Действительно, 0 v₁+...+1 v_i+...+0 v_r=0, или, другим способом, \[ v_i=0=\sum\limits_{j\neq i}0 v_j \] .

Пример 9.2.3. Если v_i=v_j для \[ i\neq j \] , то система \[ v_1,...,v_r\in {}_K V \] линейно зависима.

Действительно, 0 v₁+...+1 v_i+...+(-1) v_j+...+0 v_r=0, или, иначе, \[ v_i=v_j+\sum\limits_{\substack{k\neq i\\ k\neq j}}0 v_k \] .

Пример 9.2.4. Система строк \[ \varepsilon_1,...,\varepsilon_n\in {}_K K^n \] , где \[ \begin{align*} & \varepsilon_1=(1,0,...,0),\\ & \varepsilon_2=(0,1,...,0),\\ & \quad ...\\ & \varepsilon_n=(0,0,...,1), \end{align*} \] линейно независима. Кроме того, любая строка \[ \alpha=(k_1,...,k_n)\in {}_K K^n \] является линейной комбинацией элементов \[ \varepsilon_1,...,\varepsilon_n \] , а именно, \[ \alpha=(k_1,...,k_n)=k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n \] .

Действительно, \[ k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(k_1,...,k_n), \] и поэтому если \[ k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(0,...,0), \] то k₁=k₂=...=k_n=0, следовательно, система строк \[ \{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\} \] линейно независима.

Пример 9.2.5. Пусть \[ v_1,v_2,v_3\in {}_{ R} V \] - линейно независимая система в линейном пространстве _R V. Тогда u₁=v₁+v₂, u₂=v₁+v₃, u₃=v₂+v₃ - также линейно независимая система.

Действительно, если k₁ u₁ + k₂ u₂ + k₃ u₃ = 0, то \[ \begin{mult} 0 = k_1 (v_1+v_2) + k_2 (v_1+v_3) + k_3 (v_2+v_3) ={} \\ {}=(k_1+k_2)v_1 + (k_1+k_3)v_2 + (k_2+k_3)v_3, \end{mult} \] поэтому \[ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} k_1 + k_2 = 0,\\ k_1 + k_3 = 0,\\ k_2 + k_3 = 0. \end{array} \right. \] Следовательно, k₁ = 0, k₂ = 0, k₃ = 0, и система элементов u₁,u₂,u₃ линейно независима.

Упражнения 9.2.6.

1. Подсистема линейно независимой системы линейно независима.
2. Если подсистема линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Замечание 9.2.7. Для системы строк в Kⁿ \[ \begin{align*} & \alpha_1 = (a_{11}, ..., a_{1n}),\\ & \quad ...\\ & \alpha_r = (a_{r1}, ..., a_{rn}) \end{align*} \] вопрос о ее линейной зависимости равносилен существованию ненулевого решения (k₁,...,k_r) следующей однородной системы линейных уравнений: \[ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11} x_1 + ... + a_{r1} x_r = 0,\\ \dotfill\\ a_{1n} x_1 + ... + a_{rn} x_r = 0 \end{array} \right. \] с транспонированной матрицей A^*, где \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\\ \hdotsfor{3}\\ a_{r1} & ... & a_{rn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_r \end{pmatrix}. \] Таким образом, метод Гаусса дает нам в этом случае алгоритмическое решение задачи о линейной зависимости строк.

Теорема 9.2.8. Пусть \[ A=(a_{ij}) \in \mM_n(K) \] - квадратная матрица. Тогда следующие условия равносильны:

1. |A|=0 ;
2. система строк A₁, ..., A_n матрицы A линейно зависима (в пространстве строк Kⁿ );
3. система столбцов \[ \hat A_1, ...,\hat A_n \] матрицы A линейно зависима (в пространстве столбцов \[ \hat K^n \] ).

Доказательство.

1. Если строки матрицы A линейно зависимы, скажем, i -я строка A_i является линейной комбинацией остальных, \[ A_i = \smash[b]{\sum\limits_{j \neq i} l_j A_j} \] , то, как мы показали, |A|=0, т. е. \[ 2) \Longrightarrow 1) \] .
2. Пусть |A|=0. Тогда k₁ A₁ + ... + k_n A_n = 0 в том и только в том случае, если (k₁, ..., k_n) является решением однородной системы линейных уравнений с матрицей A^*. Так как |A^*| = |A| = 0, то существует ненулевое решение (k₁, ..., k_n), т. е. система строк A₁, ..., A_n матрицы A линейно зависима. Итак, \[ 1) \Longrightarrow 2) \] .
3. Так как |A^*| = |A|, то \[ 1) \iff 3) \] .

Задача 9.2.9. Пусть \[ A=(a_{ij})\in M_n(K) \] , \[ B=(b_{ij})\in M_n(K) \] , где b_ij=A_ji. Покажите, что если |A|=0, то |B|=0.

Теорема 9.2.10. Любая система из m строк в Kⁿ при m > n линейно зависима.

Доказательство. Если \[ \begin{align*} & \alpha_1 = (a_{11}, ..., a_{1n}),\\ & \quad ...\\ & \alpha_m = (a_{m1}, ..., a_{mn}), \end{align*} \] то равенство \[ k_1 \alpha_1 + ... + k_m \alpha_m = 0 \] равносильно тому, что (k₁, ..., k_m) является решением следующей однородной системы линейных уравнений: \[ \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11} x_1 + ... + a_{m1} x_m = 0,\\ \dotfill\\ a_{1n} x_1 + ... + a_{mn} x_m = 0. \end{array} \right. \] Так как число n уравнений меньше числа m переменных, то однородная система обладает ненулевым решением, т. е. система \[ \alpha_1, ..., \alpha_m \] линейно зависима.

Следствие 9.2.11. Если система \[ \alpha_1, ..., \alpha_r \in K^n \] линейно независима, то \[ r \leq n \] .

Лемма 9.2.12. Если система элементов \[ \alpha_1,...,\alpha_r\in {}_K V \] линейного пространства _K V над полем K линейно независима, \[ \beta \in {}_K V \] и система \[ \alpha_1, ..., \alpha_r, \beta \] линейно зависима, то \[ \beta \] является линейной комбинацией элементов \[ \alpha_1,...,\alpha_r \] .

Доказательство. Пусть \[ k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r + k_{r+1} \beta = 0, \quad k_1,...,k_{r+1}\in K, \] где не все k_i, \[ 1 \leq i \leq r+1 \] , равны нулю. Если бы k_r+1=0, то нетривиальная линейная комбинация \[ k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r = 0 \] , равная нулю, означала бы, что система \[ \alpha_1, ..., \alpha_r \] линейно зависима, что противоречит предположению.

Итак, \[ k_{r+1} \neq 0 \] , и поэтому \[ \beta = \frac{-k_1}{k_{r+1}} \alpha_1 + ... + \frac{-k_r}{k_{r+1}} \alpha_r. \]

Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства KV в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов). Пусть \[ \{\alpha_1,...,\alpha_r\} \] - линейно независимая система элементов линейного пространства _K V и \[ \beta=k_1\alpha_1+...+k_r\alpha_r=k'_1\alpha_1+...+k'_r\alpha_r,\quad k_i,k'_i\in K. \] Тогда k₁=k'₁,...,k_r=k'_r.

Доказательство. Действительно, \[ (k_1-k'_1)\alpha_1+...+(k_r-k'_r)\alpha_r= 0, \] и поэтому k₁ - k'₁=0,...,k_r - k'_r=0.