Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3977 / 719 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 6:

Свойства линейного пространства

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются линейные пространства. Рассмотрены основные свойства линейных пространств, основные зависимости и возможные действия в них. Приведено также очень важное понятие базиса, доказаны основные теоремы и предоставлены задачи для самостоятельного решения

Линейные пространства

Вывод свойств линейного пространства из аксиом

Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств, с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк Kn, столбцов \hat K^n, пространства прямоугольных и квадратных матриц \mM_{m,n}(K) и \mM_{n}(K), пространство многочленов K[x], пространство непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] и т. д.), оправдывают введение и рассмотрение понятия линейного пространства K V над полем K как множества V с операцией сложения ( V\times V\to V, (a,b)\mapsto a+b ) и операциями умножения на элементы c\in K ( V\to V, v\mapsto cv ), удовлетворяющими следующим условиям:

I.1) ассоциативность сложения (т. е. (u+v)+w=u+(v+w) для всех u,v,w\in V );

I.2) коммутативность сложения (т. е. u+v=v+u для всех u,v\in V );

I.3) существование нейтрального элемента 0 для операции сложения (т. е. v+0=v для всех v\in V );

I.4) существование противоположного элемента -v для всякого v\in V (т. е. v+(-v)=0 );

II.1) 1\cdot v=v для всех v\in V ;

II.2) (rs)v=r(sv) для всех r,s\in K, v\in V ;

III.1) r(v1+v2)=rv1+rv2 для всех r\in K, v_1,v_2\in V ;

III.2) (r+s)v=rv+sv для всех r,s\in K, v\in V.

Приведем вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).

  1. Уравнение u+x=v для u,v\in {}_K V имеет, причем единственное, решение x=(-u)+v.

    Действительно, прибавляя -u к левой и правой части, получаем, что x = (-u)+v. С другой стороны, u+(-u)+v=v.

  2. Если x+x=x для x\in {}_K V, то x=0.

    Действительно, прибавляя к левой и правой части противоположный элемент -x, получаем, что x=(-x)+x+x=(-x)+x=0.

  3. 0v=0 для любого v\in {}_K V.

    Действительно, если x=0v (здесь 0\in K ), то x+x=0v+0v=(0+0)v=0v=x, и поэтому x=0\in {}_K V.

  4. r0=0 для r\in K, 0\in V.

    Действительно, если x=r0, то x+x=r0+r0=r(0+0)=r0=x, и поэтому x=0.

  5. (-1)v=-v для всех v\in V.

    Действительно, (-1)v+v=(-1+1)v=0v=0, т. е. (-1)v=-v.

  6. rv=0 для r\in K, v\in V тогда и только тогда, когда либо r=0, либо v=0.

    Действительно, если r\neq 0, то в поле K существует элемент r^{-1}\in K, и поэтому v=1v=r-1rv=r-10=0.

  7. r(u-v)=ru-rv для всех r\in K, u,v\in V.

    Действительно, r(u-v)+rv=r(u-v+v)=ru, т. е. r(u-v)=ru-rv.

  8. -(-v)=v для всех v\in V.

    Действительно, v+(-v)=0, и поэтому -(-v)=v.

Линейная зависимость в линейных пространствах

Пусть K V - линейное пространство над полем K. Если v_1,...,v_r\in V, k_1,...,k_r\in K, то элемент

k_1v_1+...+k_rv_r\in V
называется линейной комбинацией элементов v1,...,vr с коэффициентами k_1,...,k_r\in K .

Систему элементов v_1,...,v_r \in {}_K V назовем линейно зависимой, если найдутся элементы k_1,...,k_r\in K такие, что

а) не все ki равны нулю (т. е. хотя бы один элемент ki отличен от нуля);

б) k1v1+k2v2+...+krvr=0.

Для краткости в этой ситуации мы будем говорить, что "нетривиальная" линейная комбинация элементов v1,...,vr равна нулю (конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю, 0v1+...+0 vr=0 ).

Система элементов v_1,...,v_r\in {}_K V называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, это означает, что из равенства

k_1v_1+...+k_rv_r=0,\quad k_1,...,k_r\in K,
следует, что k1=k2=...=kr=0.

Теорема 9.2.1. Система элементов v_1,...,v_r \in {}_K V линейно зависима тогда и только тогда, когда для некоторого i, 1\le i\le r,

v_i=\sum_{j\neq i}l_jv_j,\quad l_j\in K
(т. е. элемент vi является линейной комбинацией остальных элементов системы v1,...,vr ).

Доказательство.

  1. Пусть система v1,...,vr линейно зависима, т. е.
    k_1v_1+...+k_rv_r=0,\quad k_i\neq 0.
    Тогда
    v_i=\sum_{j\neq i}\frac{(-k_j)}{k_i}v_j.
  2. Если
    v_i=\sum_{j\neq i}l_jv_j,
    то
    \sum_{j\neq i} l_jv_j+(-1)v_i= v_i+(-1)v_i = 0,
    т. е. система v1,...,vr линейно зависима, поскольку -1\neq 0.

Пример 9.2.2. Если в системе элементов v_1,...,v_r\in {}_K V есть нулевой элемент, скажем, vi=0, то система v1...,vr линейно зависима.

Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+0 vr=0, или, другим способом, v_i=0=\sum\limits_{j\neq i}0 v_j.

Пример 9.2.3. Если vi=vj для i\neq j, то система v_1,...,v_r\in {}_K V линейно зависима.

Действительно, 0 v1+...+1 vi+...+(-1) vj+...+0 vr=0, или, иначе, v_i=v_j+\sum\limits_{\substack{k\neq i\\ k\neq j}}0 v_k.

Пример 9.2.4. Система строк \varepsilon_1,...,\varepsilon_n\in {}_K K^n, где

\begin{align*} & \varepsilon_1=(1,0,...,0),\\ &
\varepsilon_2=(0,1,...,0),\\ & \quad ...\\ &
\varepsilon_n=(0,0,...,1),
\end{align*}
линейно независима. Кроме того, любая строка \alpha=(k_1,...,k_n)\in {}_K K^n является линейной комбинацией элементов \varepsilon_1,...,\varepsilon_n, а именно, \alpha=(k_1,...,k_n)=k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n.

Действительно,

k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(k_1,...,k_n),
и поэтому если
k_1\varepsilon_1+...+k_n\varepsilon_n=(0,...,0),
то k1=k2=...=kn=0, следовательно, система строк \{\varepsilon_1,...,\varepsilon_n\} линейно независима.

Пример 9.2.5. Пусть v_1,v_2,v_3\in {}_{ R} V - линейно независимая система в линейном пространстве R V. Тогда u1=v1+v2, u2=v1+v3, u3=v2+v3 - также линейно независимая система.

Действительно, если k1 u1 + k2 u2 + k3 u3 = 0, то

\begin{mult}
0 = k_1 (v_1+v_2) + k_2 (v_1+v_3) + k_3 (v_2+v_3) ={}
\\
{}=(k_1+k_2)v_1 + (k_1+k_3)v_2 + (k_2+k_3)v_3,
\end{mult}
поэтому
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
k_1 + k_2 = 0,\\
k_1 + k_3 = 0,\\
k_2 + k_3 = 0.
\end{array}
\right.
Следовательно, k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0, и система элементов u1,u2,u3 линейно независима.

Упражнения 9.2.6.

  1. Подсистема линейно независимой системы линейно независима.
  2. Если подсистема линейно зависима, то линейно зависима и вся система.

Замечание 9.2.7. Для системы строк в Kn

\begin{align*} & \alpha_1 = (a_{11},
..., a_{1n}),\\ & \quad ...\\ & \alpha_r = (a_{r1}, ...,
a_{rn})
\end{align*}
вопрос о ее линейной зависимости равносилен существованию ненулевого решения (k1,...,kr) следующей однородной системы линейных уравнений:
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11} x_1 + ... + a_{r1} x_r = 0,\\
\dotfill\\
a_{1n} x_1 + ... + a_{rn} x_r = 0
\end{array}
\right.
с транспонированной матрицей A*, где
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & ... & a_{1n}\\
\hdotsfor{3}\\
a_{r1} & ... & a_{rn}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha_1\\
\vdots\\
\alpha_r
\end{pmatrix}.
Таким образом, метод Гаусса дает нам в этом случае алгоритмическое решение задачи о линейной зависимости строк.

Теорема 9.2.8. Пусть A=(a_{ij}) \in \mM_n(K) - квадратная матрица. Тогда следующие условия равносильны:

  1. |A|=0 ;
  2. система строк A1, ..., An матрицы A линейно зависима (в пространстве строк Kn );
  3. система столбцов \hat A_1, ...,\hat A_n матрицы A линейно зависима (в пространстве столбцов \hat K^n ).

Доказательство.

  1. Если строки матрицы A линейно зависимы, скажем, i -я строка Ai является линейной комбинацией остальных, A_i = \smash[b]{\sum\limits_{j \neq i} l_j A_j}, то, как мы показали, |A|=0, т. е. 2) \Longrightarrow 1).
  2. Пусть |A|=0. Тогда k1 A1 + ... + kn An = 0 в том и только в том случае, если (k1, ..., kn) является решением однородной системы линейных уравнений с матрицей A*. Так как |A*| = |A| = 0, то существует ненулевое решение (k1, ..., kn), т. е. система строк A1, ..., An матрицы A линейно зависима. Итак, 1) \Longrightarrow 2).
  3. Так как |A*| = |A|, то 1) \iff 3).

Задача 9.2.9. Пусть A=(a_{ij})\in M_n(K), B=(b_{ij})\in M_n(K), где bij=Aji. Покажите, что если |A|=0, то |B|=0.

Теорема 9.2.10. Любая система из m строк в Kn при m > n линейно зависима.

Доказательство. Если

\begin{align*} & \alpha_1 = (a_{11}, ..., a_{1n}),\\ & \quad
...\\ & \alpha_m = (a_{m1}, ..., a_{mn}),
\end{align*}
то равенство k_1 \alpha_1 + ... + k_m \alpha_m = 0 равносильно тому, что (k1, ..., km) является решением следующей однородной системы линейных уравнений:
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11} x_1 + ... + a_{m1} x_m = 0,\\
\dotfill\\
a_{1n} x_1 + ... + a_{mn} x_m = 0.
\end{array}
\right.
Так как число n уравнений меньше числа m переменных, то однородная система обладает ненулевым решением, т. е. система \alpha_1, ..., \alpha_m линейно зависима.

Следствие 9.2.11. Если система \alpha_1, ..., \alpha_r \in K^n линейно независима, то r \leq n.

Лемма 9.2.12. Если система элементов \alpha_1,...,\alpha_r\in {}_K V линейного пространства K V над полем K линейно независима, \beta \in {}_K V и система \alpha_1, ..., \alpha_r, \beta линейно зависима, то \beta является линейной комбинацией элементов \alpha_1,...,\alpha_r.

Доказательство. Пусть

k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r + k_{r+1} \beta = 0, \quad k_1,...,k_{r+1}\in K,
где не все ki, 1 \leq i \leq r+1, равны нулю. Если бы kr+1=0, то нетривиальная линейная комбинация k_1 \alpha_1 + ... + k_r \alpha_r = 0, равная нулю, означала бы, что система \alpha_1, ..., \alpha_r линейно зависима, что противоречит предположению.

Итак, k_{r+1} \neq 0, и поэтому

\beta = \frac{-k_1}{k_{r+1}} \alpha_1 + ... + \frac{-k_r}{k_{r+1}} \alpha_r.

Лемма 9.2.13 (единственность представления элемента линейного пространства KV в виде линейной комбинации линейно независимой системы элементов). Пусть \{\alpha_1,...,\alpha_r\} - линейно независимая система элементов линейного пространства K V и

\beta=k_1\alpha_1+...+k_r\alpha_r=k'_1\alpha_1+...+k'_r\alpha_r,\quad k_i,k'_i\in K.
Тогда k1=k'1,...,kr=k'r.

Доказательство. Действительно,

(k_1-k'_1)\alpha_1+...+(k_r-k'_r)\alpha_r= 0,
и поэтому k1 - k'1=0,...,kr - k'r=0.

< Лекция 5 || Лекция 6: 123 || Лекция 7 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате