Линейные преобразования линейных пространств столбцов
Линейные преобразования линейных пространств столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей
Рассмотрим линейные пространства столбцов над полем K (например, над полем R действительных чисел)
![\begin{align*} & U=\hat K^n =
\left\{\left.X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right|
x_i\in K\right\},\\[3mm] & V=\hat K^m =
\left\{\left.Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}\right|
y_i\in K\right\}.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/874dc8eadc72ab329297b2ee3f5cead3.png)
Каждая -матрица F=(fij),
, задает отображение
,
![f(X)=Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}](/sites/default/files/tex_cache/2dab68618e0ce6f822d3040086dcae2b.png)
![\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=X\in U=\hat K^n,](/sites/default/files/tex_cache/5fbb9e917c87758bac913ccce29420be.png)
![\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} y_1 & {}={} & f_{11}x_1 & {}+...+{} & f_{1n}x_n,\\
\vdots & & \vdots & & \vdots\\
y_m & {}={} & f_{m1}x_1 & {}+...+{} & f_{mn}x_n.
\end{array}](/sites/default/files/tex_cache/9716899837c53eabfcd1ad33c9bf7518.png)
![f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m,](/sites/default/files/tex_cache/236cf0ae0b75e9fd0becf2b3ff5adeb3.png)
![(m\times n)](/sites/default/files/tex_cache/8bdef79baabd620fc7195db6a0087e4b.png)
-
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех
\textup;
-
f(cX)=cf(X) для всех
,
.
![X=
\begin{pmatrix}
x_1\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix},\ \
X'=
\begin{pmatrix}
x'_1\\\vdots\\x'_n
\end{pmatrix},\quad
c\in K](/sites/default/files/tex_cache/cb72d5b76c7c71c32d0ae649feee2934.png)
![X+X'=
\begin{pmatrix}
x_1+x'_1\\\vdots\\x_n+x'_n
\end{pmatrix},\quad
cX=\begin{pmatrix}cx_1\\\vdots\\cx_n\end{pmatrix}.](/sites/default/files/tex_cache/c379be4f389b8cd20fe2ceecd75ef9d5.png)
Замечание 7.0.7. Отображение из одного линейного пространства U в другое линейное пространство V, удовлетворяющее свойствам
-
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех
,
-
f(cX)=cf(X) для всех
,
,
называется линейным отображением (преобразованием). Тем самым мы показали, что отображение, задаваемое прямоугольной -матрицей F=(fij), определяет линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов:
![f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m.](/sites/default/files/tex_cache/ff86da8b078e7c3a0d1a4cb807324d33.png)
Пример 7.0.8. Если m=1, то имеем линейную функцию y=f1x1+...+fmxn
из в
.
Пример 7.0.9. Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на угол является линейным отображением
, задаваемым матрицей поворота
![\begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha\\
\sin\alpha & \phm \cos\alpha
\end{pmatrix}.](/sites/default/files/tex_cache/032c37d8e5178e4c8906760bbf710b93.png)
Теорема 7.0.10 (об однозначной определяемости матрицы, задающей линейное отображение столбцов). Пусть
![f: U=\hat K^n \to V=\hat K^m,\ \ g: U=\hat K^n \to V=\hat K^m \text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/abc1cd1831507ed9c4bbbaf3836ff6c7.png)
![(m\times n)](/sites/default/files/tex_cache/8bdef79baabd620fc7195db6a0087e4b.png)
- Если F=G, то ясно, что f=g.
- Пусть f=g. Рассмотримгде 1 стоит в j -й строке, а остальные элементы равны нулю. Тогдапоэтому для любого i имеем fij=gij, т. е. F=(fij)=(gij)=G.
Теорема 7.0.11 (о задании любого линейного отображения линейных пространств столбцов матрицей). Пусть
![f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m \text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/a57651f19d280f87df8f2429c695db65.png)
-
f(X+X')=f(X)+f(X') для всех
,
-
f(cX)=cf(X) для всех
,
.
Тогда найдется (и единственная) -матрица F=(fij) такая, что определяемое с ее помощью линейное отображение совпадает с линейным отображением f.
![e_j =
\begin{pmatrix}
0\\
\vdots\\
1\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\vphantom{0}\\
\vphantom{\vdots}\\
\scriptstyle \kern-3mm -\;j\\
\vphantom{\vdots}\\
\vphantom{0}
\end{matrix}\;,\quad
f(e_j) =
\begin{pmatrix}
f_{1j}\\
\vdots\\
f_{ij}\\
\vdots\\
f_{mj}
\end{pmatrix} \in V = \hat K^m,\ \ f_{ij}\in
K.](/sites/default/files/tex_cache/937b5f93fed88ee9ee551bb2449b81d3.png)
![(m\times n)](/sites/default/files/tex_cache/8bdef79baabd620fc7195db6a0087e4b.png)
Для любого
![X=
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} \in U = \hat
K^n](/sites/default/files/tex_cache/6c353cae4b99695e669abecc6728fb11.png)
![\begin{mult}
\smash[b]{\begin{pmatrix}
y_1\\
\vdots\\
y_m
\end{pmatrix}} = f(X) =
x_1f(e_1)+...+x_nf(e_n)={}
\\
{}=
x_1
\begin{pmatrix}
f_{11}\\
\vdots\\
f_{m1}
\end{pmatrix} +... +
x_n
\begin{pmatrix}
f_{1n}\\
\vdots\\
f_{mn}
\end{pmatrix},
\end{mult}](/sites/default/files/tex_cache/0537a59f27f6476cdb1392fc9a60522a.png)
![\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c}
y_1 & {}={} & f_{11}x_1 & {}+...+{} & f_{1n}x_n,\\
\vdots & & \vdots & & \vdots\\
y_m & {}={} & f_{m1}x_1 & {}+...+{} & f_{mn}x_n.
\end{array}](/sites/default/files/tex_cache/5688f3b8ae9581f35b114ee76efd62ea.png)
![(m\times n)](/sites/default/files/tex_cache/8bdef79baabd620fc7195db6a0087e4b.png)