Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3970 / 711 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 2:

Вычисление определителей

< Лекция 1 || Лекция 2: 1234 || Лекция 3 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются примеры вычисления определителей. Приведены определения минора, алгебраического дополнения и определителя Вандермонда. Рассмотрены примеры решения задач и приведены упражнения для самостоятельного решения

Вычисление определителей

Определение определителя

|A|=\sum_{\alpha\in S_n} \varepsilon(\alpha) a_{1\alpha(n)}... a_{n\alpha(n)}
как суммы n! слагаемых-произведений плохо пригодно для реальных вычислений при больших n. В теоретическом плане важно отметить, что определитель |A| является многочленом от n2 переменных aij, в котором мономы входят с коэффициентами \pm 1. Отметим лишь одно из следствий этого факта: если aij=aij(x) являются дифференцируемыми функциями от переменной x, то определитель |A| также является дифференцируемой функцией от x, поскольку суммы и произведения дифференцируемых функций являются дифференцируемыми функциями.

Теорема 6.6.1. Пусть от квадратной (n\times n) -матрицы A=(aij) элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа) мы пришли к треугольной матрице

\bar A = \begin{pmatrix} \bar a_{11} & & &
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-25pt}\LARGE*}}\\
0 & \bar a_{22}\\
\vdots & & \ddots\\
0 & \hdotsfor{2} & \bar a_{nn}
\end{pmatrix}
(все элементы ниже диагонали равны нулю; любая ступенчатая матрица, очевидно, является треугольной). Тогда
|A| = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}.

Доказательство. Так как |A|= (-1)t |A|, то

|A|=(-1)^t |\bar A|= (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn}.

Характеризация функции определителя матрицы базовыми свойствами

Теорема 6.7.1 (о единственности функции с базовыми свойствами 1—4 определителя). Пусть функция F, сопоставляющая каждой квадратной (n\times n) -матрице A\in\mM_n(K) "число" F(A)\in K, удовлетворяет базовым свойствам {1 4} функции определителя. Тогда F(A)=|A|, т. е. функция определителя |A| однозначно определяется свойствами {1 4}.

Доказательство. Приведем (n\times n) -матрицу A к треугольному виду

\bar A = 
\begin{pmatrix}
\bar a_{11} & & &
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-25pt}\LARGE * }}\\
0 & \bar a_{22}\\
\vdots & & \ddots\\
0 & \hdotsfor{2} & \bar a_{nn}
\end{pmatrix}
элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа). Тогда
F(\bar A)=(-1)^t F(A),
следовательно, F(A)=(-1)t F(A). Далее, вынося элемент \bar a_{nn} из n -й строки и создавая 0 над ним, получаем
%\begin{mult}  \addtolength{\arraycolsep}{-2pt}
F(\bar A) = \bar a_{nn} F
\begin{pmatrix}
\bar a_{11} & & &
\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-45pt}\LARGE * }}\\
\vdots & \ddots\\
0 & ... & \bar a_{n-1\,n-1}\\
0 & ... & 0 & 1
\end{pmatrix} =
%{}
%\\
%{}=
\bar a_{nn} F
\begin{pmatrix}
\bar a_{11} & & & 0\\
\vdots & \ddots &
\raisebox{10pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-0pt}\LARGE * }} &
\vdots\\
0 & ... & \bar a_{n-1\,n-1} & 0\\
0 & ... & 0 & 1
\end{pmatrix}. 
%\end{mult}
Продолжая это рассуждение, получаем
F(\bar A) = \bar a_{11}...
\bar a_{nn}
F
\begin{pmatrix}
1 & &
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}}
& & 1
\end{pmatrix} =
\bar a_{11} ... \bar a_{nn}.
Итак, F(A)=(-1)^t F(\bar A) = (-1)^t \bar a_{11}... \bar a_{nn} = |A|.

< Лекция 1 || Лекция 2: 1234 || Лекция 3 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате