Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3991 / 731 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Тема: Математика
Специальности: Математик
Теги:
Лекция 2:
Вычисление определителей
Аннотация: В данной лекции рассматриваются примеры вычисления определителей. Приведены определения минора, алгебраического дополнения и определителя Вандермонда. Рассмотрены примеры решения задач и приведены упражнения для самостоятельного решения
Ключевые слова: определение, определитель, матрица, доказательство, функция, алгебраическое дополнение элемента матрицы, Алгебраическим дополнением, ПО, определитель матрицы, система линейных уравнений, коэффициенты
Вычисление определителей
как суммы n! слагаемых-произведений плохо пригодно для реальных вычислений при больших n. В теоретическом плане важно отметить, что определитель |A| является многочленом от n2 переменных aij, в котором мономы входят с коэффициентами . Отметим лишь одно из следствий этого факта: если aij=aij(x) являются дифференцируемыми функциями от переменной x, то определитель |A| также является дифференцируемой функцией от x, поскольку суммы и произведения дифференцируемых функций являются дифференцируемыми функциями.Теорема 6.6.1. Пусть от квадратной -матрицы A=(aij) элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа) мы пришли к треугольной матрице
(все элементы ниже диагонали равны нулю; любая ступенчатая матрица, очевидно, является треугольной). ТогдаДоказательство. Так как |A|= (-1)t |A|, то
Характеризация функции определителя матрицы базовыми свойствами
Теорема 6.7.1 (о единственности функции с базовыми свойствами 1—4 определителя). Пусть функция F, сопоставляющая каждой квадратной -матрице "число" , удовлетворяет базовым свойствам {1 4} функции определителя. Тогда F(A)=|A|, т. е. функция определителя |A| однозначно определяется свойствами {1 4}.
Доказательство. Приведем -матрицу A к треугольному виду
элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа ( t преобразований 2-го типа). Тогда следовательно, F(A)=(-1)t F(A). Далее, вынося элемент из n -й строки и создавая 0 над ним, получаем Продолжая это рассуждение, получаем Итак, .