НОУ ИНТУИТ | Алгебра матриц и линейные пространства. Лекция 6: Свойства линейного пространства

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3991 / 731 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, TE, алгебраическим дополнением, вычисления, геометрия, законы дистрибутивности, игры, линейная оболочка строк, матрица перехода, моноид, определитель матрицы, расширенная матрица, система линейных уравнений определенная, собственный вектор, теория, элементы

|

Вам нравится? Нравится 63 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Замечание о линейной выражаемости конечных систем элементов в линейном пространстве

Пусть _K V - линейное пространство, $S_1\subseteq {}_K V$ , $S_2\subseteq {}_K V$ . Будем говорить, что система S₂ элементов u₁,...,u_s линейно выражается через систему S₁ элементов v₁,...,v_r, если каждый элемент $u_i \in S_2$ , $1 \leq i \leq s$ , является линейной комбинацией элементов v₁,...,v_r системы S₁,

$u_i = \sum_{j=1}^r m_{ij} v_j,\quad m_{ij}\in K.$

Если к тому же система S₃ элементов w₁,...,w_t линейно выражается через систему S₂,

$w_k = \sum_{i=1}^s l_{ki} u_i,\ \ l_{ki}\in K,\quad 1\leq k\leq t,$

то

$w_k = \sum_{i=1}^s l_{ki} u_i = \sum_{i=1}^s \sum_{j=1}^{r} (l_{ki} m_{ij}) v_j = \sum_{j=1}^{r} \biggl(\,\sum_{i=1}^{s} l_{ki} m_{ij}\biggr) v_j,$

т. е. система S₃ линейно выражается через систему S₁.

Системы S₁ и S₂ называются эквивалентными, если они линейно выражаются друг через друга (обозначение: $S_1\sim S_2$ ).

Следствие 9.4.1. Отношение "быть эквивалентными системами", $S_1 \sim S_2$ , является отношением эквивалентности.

Следствие 9.4.2. Если элемент $v\in {}_K V$ является линейной комбинацией элементов v₁,...,v_r системы S₁, $S_1\sim S_2$ , где S₂ - система элементов u₁,...,u_s, то элемент v является линейной комбинацией элементов u₁,...,u_s системы S₂.

Следствие 9.4.3. Любая (конечная) система элементов $S \subseteq {}_K V$ эквивалентна своей максимальной линейно независимой подсистеме.

Следствие 9.4.4. Любые две (конечные) максимально независимые подсистемы любой системы $S \subseteq {}_K V$ эквивалентны.

Замечание 9.4.5. Если $A,B\in \mM_{m,n}(K)$ и матрица B получена из матрицы A конечным числом элементарных преобразований 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы B является линейной комбинацией строк матрицы A (поскольку от матрицы B мы можем вернуться к матрице A с помощью элементарных преобразований строк 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы A является линейной комбинацией строк матрицы B ). Таким образом, в линейном пространстве строк Kⁿ системы строк A₁,...,A_m матрицы A и B₁,...,B_m матрицы B линейно выражаются друг через друга.

Теорема 9.4.6 (основная теорема о линейной зависимости). Пусть в линейном пространстве _K V линейно независимая система элементов v₁,...,v_r линейно выражается через другую систему элементов u₁,...,u_s. Тогда $r \leq s$ .

Доказательство. Допустим противное: пусть r > s. В силу нашего предположения

$\begin{align*} & v_1 = a_{11} u_1+ ... + a_{1s} u_s,\\ & \quad ... \\ & v_r = a_{r1} u_1 + ... + a_{rs} u_s, \quad a_{ij}\in K. \end{align*}$

Так как r > s, то r строк

$\begin{align*} & (a_{11}, ..., a_{1s}), \\* & \quad ... \\* & (a_{r1}, ..., a_{rs}) \end{align*}$

в линейном пространстве строк K^s линейно зависимы: найдется их линейная комбинация с коэффициентами k₁, ..., k_r, где $k_i \neq 0$ для некоторого i, равная нулевой строке $(0,...,0)\in K^s$ . Но тогда и линейная комбинация элементов v₁, ..., v_r с этими же коэффициентами k₁, ..., k_r, равна нулю, k₁v₁+...+k_rv_r=0. Таким образом, система элементов v₁,...,v_r линейно зависима, что приводит нас к противоречию.

Следствие 9.4.7. Две эквивалентные конечные линейно независимые системы в линейном пространстве _K V содержат равное число элементов.

Следствие 9.4.8.Для системы $S \subseteq KV,$ где _KV —конечномерное линейное пространство, любые две (конечные) максимальные линейно независимые подсистемы содержат одинаковое число элементов r(S), называемое рангом системы S.

Следствие 9.4.9. Если S = _K V и _K V - конечномерное линейное пространство, то любые два базиса в _K V состоят из одного и того же числа элементов n, это число n называется размерностью линейного пространства _K V, обозначение: $\dim {}_K V = n$ .

Как мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространстве строк _K Kⁿ является система строк

$\begin{align*} & \varepsilon_1=(1,0,...,0),\\ & \quad ...\\ & \varepsilon_n=(0,0,...,1), \end{align*}$

и поэтому $\dim {}_K K^n=n$ .

Следствие 9.4.10. Если в конечномерном линейном пространстве _K V одна система элементов S₁ линейно выражается через другую систему S₂, то $r(S_1)\leq r(S_2)$ .

Следствие 9.4.11. Если в линейном пространстве _K V система M из m элементов имеет ранг r, то любая ее подсистема S из s элементов ( $s\leq m$ ) имеет ранг не меньше чем r+s-m.

Следствие 9.4.12. Для системы строк $v_1,...,v_r\in K^n$ следующие условия эквивалентны:

система строк v₁,...,v_r является базисом линейного пространства строк Kⁿ (т. е. максимальной линейно независимой подсистемой строк в K^n ; и тогда r=n );
каждая строка $v\in K^n$ единственным образом представляется в виде линейной комбинации
$v=\lambda_1 v_1+...+\lambda_rv_r,\quad \lambda_1,...,\lambda_r\in K$
(и тогда r=n );
r=n и система строк v₁,...,v_n линейно независима;
r=n и каждая строка $v\in K^n$ представима в виде линейной комбинации
$v=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n,\quad \lambda_1,...,\lambda_n\in K.$

Доказательство. Мы уже показали, что $1)\Longrightarrow 2)$ . Покажем, что $2)\Longrightarrow 1)$ . Если v₁,...,v_r - линейно зависимая система строк, $\lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r=0$ с некоторым $\lambda_i\neq 0$ , то нулевая строка имеет два различных представления

$0 = 0\cdot v_1 + ... + 0 \cdot v_r = \lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r,\quad \lambda_i\neq 0.$

При этом r=n, так как любые базисы в K^n содержат n элементов.

Ясно, что $1)\Longrightarrow 3)$ . Покажем, что $3)\Longrightarrow 1)$ . Для любой строки $v\in K^n$ система строк v₁,...,v_n,v линейно зависима ( n+1>n ). Так как v₁,...,v_n - линейно независимая система, то $v=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n$ для некоторых $\lambda_1,...,\lambda_n\in K$ .

Ясно, что $1)\Longrightarrow 4)$ . Покажем, что $4)\Longrightarrow 1)$ . Допустим, что v₁,...,v_n - линейно зависимая система. Тогда ее максимально линейно независимая подсистема $v_{i_1},...,v_{ir}$ , r<n, является максимальной линейно независимой подсистемой в Kⁿ, что противоречит r=n.

Дальше >>

Авторизоваться

Алгебра матриц и линейные пространства

Свойства линейного пространства

Замечание о линейной выражаемости конечных систем элементов в линейном пространстве

Вопросы и ответы