Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn
Теорема 8.5.3 (об определителе произведения матриц). Для любых квадратных матриц имеем |AB|=|A|,|B|.
Доказательство. Пусть C=AB. Рассмотрим определитель размера

С другой стороны, прибавляя к каждому столбцу, проходящему через матрицу B, соответствующую линейную комбинацию столбцов, проходящих через матрицу A, т. е.

получаем, что

Следствие 8.5.4.
- Если
, то |AB|=|A|,|B|=|BA| (т. е. хотя матрицы AB и BA могут быть различны, их определители равны).
-
|Ak|=|A|k для
.
Упражнение 8.5.5. Покажите, что любые две матрицы в M2( Z), коммутирующие с

Упражнение 8.5.6. Если




![B =
\begin{pmatrix}
-\frac{\lambda_2}{5} & \frac{1}{5}\\[3\jot]
-\sqrt{5}\lambda_1 & \sqrt{5}
\end{pmatrix},](/sites/default/files/tex_cache/c6004a714d0e5985f179a9fd0733a049.png)





Упражнение 8.5.7. Пусть . Покажите, что

Упражнение 8.5.8. Если ,
при
,
и DA=AD, то A - также диагональная матрица.
Упражнение 8.5.9 (внешнее произведение векторов). Если ,
, то

Упражнение 8.5.10. (скалярное произведение векторов) Если ,
, то

Упражнение 8.5.11. Пусть ,
, H*H=nE,(=HH*) (такая матрица называется матрицей Адамара). Например,


Упражнение 8.5.12. Пусть - матрица Маркова (это означает, что для каждого j,
,
, т. е. сумма элементов по каждому столбцу равна 1 ). Докажите, что если
- матрицы Маркова, то
-
AB и Ak,
, - матрицы Маркова;
- если
и
для всех i, j, то
для всех i, j для матрицы (cij}=C=AB.