Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3971 / 713 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

Теорема 8.5.3 (об определителе произведения матриц). Для любых квадратных матриц A,B\in M_{n}(K) имеем |AB|=|A|,|B|.

Доказательство. Пусть C=AB. Рассмотрим определитель размера 2n\times 2n :

\left|
\begin{array}{c|c}
A & 0\\
\hline
\begin{matrix}
-1\\ & \ddots\\ & & -1
\end{matrix} & B
\end{array}\right| =
\left|\begin{array}{c|c}
A^* & \begin{matrix}
-1\\ & \ddots\\ & & -1
\end{matrix} \\
\hline
0 & B^*
\end{array}\right| =
%{}
%\\
%{}=
|A^*|\, |B^*| = |A|\, |B|.

С другой стороны, прибавляя к каждому столбцу, проходящему через матрицу B, соответствующую линейную комбинацию столбцов, проходящих через матрицу A, т. е.

\left(
\begin{array}{c}
0\\
\vdots\\
0\\
\hline
b_{1j}\\
\vdots\\
b_{nj}
\end{array}
\right) +
b_{1j}
\left(
\begin{array}{c}
a_{11}\\
\vdots\\
a_{n1}\\
\hline
-1\\
\phm 0\\
\vdots\\
\phm 0
\end{array}
\right) +...+
b_{nj}
\left(
\begin{array}{c}
a_{1n}\\
\vdots\\
a_{nn}\\
\hline
\phm 0\\
\vdots\\
-1
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
c_{11}\\
\vdots\\
c_{n1}\\
\hline
0\\
\vdots\\
0
\end{array}
\right),

получаем, что

\begin{mult}
\left|\begin{array}{c|c}
A & 0\\
\hline
\begin{matrix}
-1\\ & \ddots\\ & & -1
\end{matrix} & B
\end{array}\right| =
\left|\begin{array}{c|c}
A & C=AB\\
\hline
\begin{matrix}
-1\\ & \ddots\\ & & -1
\end{matrix} & 0
\end{array}\right| ={}
\\
{}=
(-1)^n
\left|
\begin{array}{c|c}
\begin{matrix}
-1\\ & \ddots\\ & & -1
\end{matrix} & 0\\
\hline
A & C
\end{array}\right| =
(-1)^{2n}|C|=|C|. 
\end{mult}

Следствие 8.5.4.

  1. Если A,B\in M_{n}(K), то |AB|=|A|,|B|=|BA| (т. е. хотя матрицы AB и BA могут быть различны, их определители равны).
  2. |Ak|=|A|k для k\in N.

Упражнение 8.5.5. Покажите, что любые две матрицы в M2( Z), коммутирующие с

\begin{pmatrix}
\phm 0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix},
коммутируют между собой.

Упражнение 8.5.6. Если

A=
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix} \in M_{2}( Z),
то
A^m=
\begin{pmatrix}
f_{m-1} & f_m\\
f_m & f_{m+1}
\end{pmatrix}
для m\in N, где
\begin{gathe}
f_0=0,\quad f_1=1,\quad f_2=1,\quad f_3=2,\\
f_{m+1}=f_m+f_{m-1}
\end{gathe}
(числа Фибоначчи). Если
B =
\begin{pmatrix}
-\frac{\lambda_2}{5} & \frac{1}{5}\\[3\jot]
-\sqrt{5}\lambda_1 & \sqrt{5}
\end{pmatrix},
где
\lambda_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad \lambda_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2},
то
A=B^{-1}
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix} B,
и поэтому
A^m=B^{-1}
\begin{pmatrix}
\lambda_1^m & 0\\
0 & \lambda_2^m
\end{pmatrix} B,
откуда
\begin{gathe}
f_m=\frac{\lambda_1^m-\lambda_2^m}{\sqrt{5}}=
\frac{1}{\sqrt{5}}
\biggl\{\biggl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\biggr)^m-
\biggl(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\biggr)^m\biggr\},\\
f_m\sim \frac{1}{\sqrt{5}}\lambda_1^m,
\end{gathe}
поскольку
\lim\limits_{m\to\infty} \biggl(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\biggr)^m=0.

Упражнение 8.5.7. Пусть A\in M_{n}(K). Покажите, что

\{B\in M_{n}(K)\mid AB=BA\}\text{  -}
подалгебра в алгебре матриц Mn(K).

Упражнение 8.5.8. Если D=d(\lambda_1,...,\lambda_n)\in M_{n}(K), \lambda_i\neq \lambda_j при i\neq j, A\in M_{n}(K) и DA=AD, то A - также диагональная матрица.

Упражнение 8.5.9 (внешнее произведение векторов). Если A\in M_{m,1}(K), B\in M_{1,r}(K), то C=AB\in M_{m,r}(K) :

\begin{pmatrix}
1\\
2\\
3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 & 5
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
4 & 5\\
8 & 10\\
12 & 15
\end{pmatrix}.

Упражнение 8.5.10. (скалярное произведение векторов) Если A\in M_{1,n}(K), B\in M_{n,1}(K), то C=AB\in M_{1}(K)=K :

\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4\\
5\\
6
\end{pmatrix} =
(1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6)=(32).

Упражнение 8.5.11. Пусть H=(h_{ij})\in M_{n}( R), h_{ij}\in \{1,-1\}, H*H=nE,(=HH*) (такая матрица называется матрицей Адамара). Например,

\begin{pmatrix}
1 & \phm 1\\
1 & -1
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
1 & \phm 1 & \phm 1 & \phm 1\\
1 & -1 & \phm 1 & -1\\
1 & \phm 1 & -1 & -1\\
1 & -1 & -1 & \phm 1
\end{pmatrix}.
Докажите, что для n, отличных от 1, 2 и 4k, где k\in N, не существует матриц Адамара.

Упражнение 8.5.12. Пусть A=(a_{ij})\in M_{n}( C) - матрица Маркова (это означает, что для каждого j, 1 \leq j \leq n, \sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}=1, т. е. сумма элементов по каждому столбцу равна 1 ). Докажите, что если A,B\in M_{n}( C) - матрицы Маркова, то

  1. AB и Ak, k\in N, - матрицы Маркова;
  2. если |a_{ij}| \leq 1 и |b_{ij}| \leq 1 для всех i, j, то |c_{ij}| \leq 1 для всех i, j для матрицы (cij}=C=AB.
< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате