Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3972 / 713 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

Ассоциативность произведения матриц

Теорема 8.4.1 (об ассоциативности произведения матриц). Пусть

\begin{align*}
A & = (a_{ij})\in M_{r,m}(K),\\
B & = (b_{ij})\in M_{m,n}(K),\\
C & = (c_{ij})\in M_{n,p}(K).
\end{align*}
Тогда (AB)C=A(BC).

Первое доказательство. Пусть

\begin{align*}
U &= AB = (u_{ij})\in M_{r,n}(K),\\
V &= BC = (v_{ij})\in M_{m,p}(K),\\
S &= (AB)C = UC = (s_{ij})\in M_{r,p}(K),\\
T &= A(BC) = AV = (t_{ij})\in M_{r,p}(K).
\end{align*}
Так как
u_{il}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kl},\quad v_{kj}=\sum_{l=1}^{n}b_{kl}c_{lj},
то
\begin{align*}
s_{ij} &= \sum_{l=1}^{n} u_{il}c_{lj}=
\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kl}c_{lj},\\
t_{ij} &= \sum_{k=1}^{m}a_{ik}v_{kj}=
\sum_{k=1}^{m}\sum_{l=1}^{n}a_{ik}b_{kl}c_{lj}
\end{align*}
для всех (i,j), и, следовательно, S=T.

Второе доказательство. Пусть в диаграмме

\hat K^p
\underset{C}{\overset{\cC}{\longrightarrow}}
\hat K^n \underset{B}{\overset{\cB}{\longrightarrow}}
\hat K^m \underset{A}{\overset{\cA}{\longrightarrow}}
\hat K^r
линейные преобразования A, B, C определены соответственно матрицами A, B, C. Тогда (в силу ассоциативности произведения отображений) (AB)C=A(BC). Вычисляя матрицу этого линейного преобразования (по теореме о матрице произведения линейных преобразований), получаем, что (AB)C=A(BC).

Следствие 8.4.2. Квадратные (n\times n) -матрицы Mn(K) относительно операции умножения являются моноидом (т. е. операция умножения определена на Mn(K), ассоциативна и обладает нейтральным элементом E=En ).

Теорема 8.4.3 (о дистрибутивности для матриц). Пусть

\begin{gathe}
A=(a_{ij}),B=(b_{ij})\in M_{m,n}(K);\\
C=(c_{ij})\in M_{r,m}(K);\quad
D=(d_{ij})\in M_{n,p}(K).
\end{gathe}
Тогда
\begin{align*}
C(A+B) &= CA+CB \ \ \text{в}\ \ M_{r,n}(K),\\
(A+B)D &= AD+BD \ \ \text{в}\ \ M_{m,p}(K).
\end{align*}

Доказательство. Действительно, для любого места (i,j) имеем

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{m}c_{ik}(a_{kj}+b_{kj}) &=
\sum_{k=1}^{m}c_{ik}a_{kj}+\sum_{k=1}^{m}c_{ik}b_{kj},\\
\sum_{l=1}^{n}(a_{il}+b_{il})d_{lj} &=
\sum_{l=1}^{n}a_{il}d_{lj} +\sum_{l=1}^{n}b_{il}d_{lj},
\end{align*}
что доказывает наши утверждения.

Следствие 8.4.4. Для любых квадратных матриц A,B,C\in M_{n}(K) имеем

\begin{align*}
(A+B)C &= AC+BC,\\
C(A+B) &= CA+CB.
\end{align*}

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате