Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 10.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3972 / 713 | Оценка: 4.33 / 3.93 | Длительность: 13:22:00
Специальности: Математик
Лекция 4:

Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

Итоговая теорема об алгебре матриц

Теорема 8.5.1.

I. Совокупность Mm,n(K) прямоугольных матриц размера m\times n над K (в частности, квадратные матрицы Mn(K) ) относительно операции сложения образуют абелеву коммутативную группу, т. е.

I.1) операция сложения ассоциативна;

I.1') операция сложения коммутативна (т. е. A+B=B+A для всех A,B\in M_{m,n}(K) );

I.2) существует нейтральный элемент 0 (нулевая матрица), 0+A=A+0=A для всех A\in M_{m,n}(K) ;

I.3) для каждой матрицы A\in M_{m,n}(K) существует противоположный элемент -A,(=(-1)A),=(-aij), A+(-A)=0.

II. Операции умножения матрицы A на элемент c\in K, A\mapsto cA, в Mm,n(K) удовлетворяют условиям:

II.1) 1\cdot A=A ;

II.2) (c1c2)A=c1(c2A).

III. Операции сложения и умножения на элементы c\in K в Mm,n(K) удовлетворяют условиям

III.1) c(A+B)=cA+cB ;

III.2) (c1+c2)A=c1A+c2A.

Таким образом, I, II, III означают, что Mm,n(K) - линейное пространство над полем K.

IV. С операциями сложения A+B и умножения матриц AB совокупность квадратных матриц Mn(K) является кольцом, т. е.

IV.1) по сложению Mn(K) - абелева группа;

IV.2) с умножением матриц Mn(K) - моноид, т. е.

2.а) умножение матриц ассоциативно, (AB)C=A(BC) для любых A,B,C\in M_{n}(K) ;

2.б) единичная матрица E является нейтральным элементом для операции умножения, AE=A=EA для всех A\in M_{n}(K) ;

IV.3 операции сложения и умножения матриц удовлетворяют законам дистрибутивности

3.а) (A+B)C=AC+BC ;

3.б) C(A+B)=CA+CB.

V. С операциями сложения A+B и умножения AB матриц и операциями умножения cA матрицы A на элемент c\in K квадратные матрицы Mn(K) являются алгеброй , т. е.

V.1) кольцом (относительно сложения и умножения матриц);

V.2) линейным пространством (относительно сложения матриц и умножений матрицы на элемент K )

и дополнительно

V.3) (cA)B=c(AB)=A(cB) для c\in K, A,B\in M_{n}(K).

Доказательство свойства V.3. Для любого места (i,j) имеем

\sum_{k=1}^{n}(ca_{ik})b_{kj}= c\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}= \sum_{k=1}^{n}a_{ik}(cb_{kj}).

Теорема 8.5.2 (о транспонировании произведения матриц). Пусть

A\in M_{m,n}(K),\quad B\in M_{n,r}(K),
тогда (AB)*=B*A*.

Доказательство. Ясно, что G=AB\in M_{m,r}(K) и H=G^*=(AB)^*\in M_{r,m}(K). Так как D=B^*\in M_{r,n}(K) и C=A^*\in M_{n,m}(K), то произведение U=B*A* существует и лежит в Mr,m(K), как и (AB)^*\in M_{r,m}(K).

Для любого места (i,j) имеем для U=B*A*=DC, где B*=D, A*=C,

u_{ij}=\sum_{k=1}^{n}d_{ik}c_{kj}= \sum_{k=1}^{n}b_{ki}a_{jk}=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{ki}= g_{ji}=h_{ij}.
Итак, B*A*=U=H=(AB)*.

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Матвей Новосёлов
Матвей Новосёлов
Вадим Фонов
Вадим Фонов
Деление определителя матрицы 2х2, в которой элементы диагоналей поменяли местами на определитель исходной дает в результате