Нечеткие множества
6.5 Операции над нечеткими множествами
Рассмотрим операции над нечеткими множествами.
Дополнение. Пересечение. Объединение.
Пусть дано множество и два его нечетких подмножества:
Дополнением нечеткого множества называют множество
![]() |
( 6.4) |
Пересечением нечетких множеств и
называют нечеткое множество
![]() |
( 6.5) |
Объединением нечетких множеств и
называют нечеткое множество
![]() |
( 6.6) |
Продемонстрируем операции над множествами средствами программы MathCad.
Пример 6.5
Приводим листинги операций дополнения, пересечения, объединения для нечетких множеств в виде матриц примера 6.1. (рис.6.7, рис. 6.8):
Дополнения нечетких множеств. – единичная матрица.

,
,


,
Пример 6.6
Приводим листинги операций дополнения, пересечения, объединения для нечетких множеств примера 6.2 с треугольными функциями принадлежности. (рис.6.9, рис. 6.10,6.11 )
Дополнение множеств
Объединение и пересечение множеств
Пересечение множеств
Расстояние между множествами
Чтобы определить расстояние между элементами множества , надо наложить метрику на это множество. Рассмотрим следующие метрики. Математическим прообразом реального трехмерного пространства является пространство Евклида. Пространство Евклида обозначают обычно
. Для линейных дискретных пространств, особенностью которых является то, что координаты векторов могут принимать лишь дискретные значения, известно пространство Хемминга. Если рассмотреть функции принадлежности всех множеств на универсальном множестве
, то они образуют функциональное множество всех функций, определенных на
, и принимающих значения на отрезке
. Метрика на множестве
— это функция
, сопоставляющая каждой паре элементов
действительное число по правилу выбранного пространства.
Чтобы найти расстояние между множествами и
используются метрики, представленные в таблице 6.2:
Вид метрики | Вид множества | |
![]() ![]() |
![]() |
|
Линейное расстояние (расстояние Хемминга) | ![]() |
![]() |
Евклидово расстояние | ![]() |
![]() |
Пример. 6.7
Для нечетких множеств и
примера 6.1. построим расстояние между множествами в среде MathCad. Обозначим
– расстояние по Хеммингу,
- расстояние по Евклиду (см. рис. 6.2):
,
,
Определение понятия "обычное множество, ближайшее к нечеткому"
Обычным множеством, ближайшим к нечеткому множеству с функцией принадлежности
, называют подмножество
множества
, характеристическая функция которого имеет вид:
![]() |
( 6.7) |
Геометрический смысл понятия "обычное множество , ближайшее к нечеткому множеству
" иллюстрирует рис. 6.12.
Значения при различном расположении точек графиков функций:
- функция
,
- функция
Как видно на рисунке, справедливы неравенства
независимо от того
или
Если — обычное множество, то оно является ближайшим к самому себе. Это следует непосредственно из определения.
Пример 6.8
Для множеств и
примера 6.1 построим в MathCad множества
и
– ближайшие к нечетким, воспользуемся встроенной функцией
if (условие, результат1, результат2)
результат 1 – если условие выполнено, результат 2 в противном случае.
– множества ближайшие к нечетким
и
,
,
,