НОУ ИНТУИТ | Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования. Лекция 6: Нечеткие множества

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 25 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

6.5 Операции над нечеткими множествами

Рассмотрим операции над нечеткими множествами.

Дополнение. Пересечение. Объединение.

Пусть дано множество $A=\{a_1,a_2,K,a_k\}$ и два его нечетких подмножества: $X=\{x,\mu_1(x)\}, \; Y=\{y,\mu_2(y)\},\; x,y \in A$

Дополнением нечеткого множества $A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i$ называют множество

$\overline{A}=\sum_{U}^{}(1-\mu_A(u_i))/u_i$

( 6.4)

Пересечением нечетких множеств $A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i$ и $B=\sum_{U}^{}\mu_B(u_i)/u_i$ называют нечеткое множество

$A\cap B=\sum_{U}^{}\min(\mu_A(u_i),\mu_B(u_i))/u_i$

( 6.5)

Объединением нечетких множеств $A=\sum_{U}^{}\mu_A(u_i)/u_i$ и $B=\sum_{U}^{}\mu_B(u_i)/u_i$ называют нечеткое множество

$A\cup B=\sum_{U}^{}\max(\mu_A(u_i),\mu_B(u_i))/u_i$

( 6.6)

Продемонстрируем операции над множествами средствами программы MathCad.

Пример 6.5

Приводим листинги операций дополнения, пересечения, объединения для нечетких множеств в виде матриц примера 6.1. (рис.6.7, рис. 6.8):

Дополнения нечетких множеств. – единичная матрица.

$E_{i,1}:=2\cdot I, \; E_{i,2}:=1, \; EX:=E-X, \; EY:=E-Y$

$E:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 2 \\ \hline 1 & 2 & 1 \\ \hline 2& 4 & 1 \\ \hline 3 & 6 & 1 \\ \hline 4 & 8 & 1 \\ \hline 5 & 10 & 1 \\ \hline 6& 12 & 1 \\ \hline 7& 14 & 1 \\ \hline 8 & 16 & 1\\ \hline 9 & 18 &1 \\ \hline 10& 20 & 1 \\ \hline \end{array}$ , $EX:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 2 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline 2& 2 & 0.8 \\ \hline 3 & 3 & 0.4 \\ \hline 4 & 4 & 0.5 \\ \hline 5 & 5& 0.2 \\ \hline 6& 6 & 0.8 \\ \hline 7& 7& 0.3 \\ \hline 8 & 8 & 0.7\\ \hline 9 & 9 & 0.9 \\ \hline 10& 10 & 0.9 \\ \hline \end{array}$ , $EY:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ \hline 2& 2 & 0.9 \\ \hline 3 & 3 & 1 \\ \hline 4 & 4 & 0.5 \\ \hline 5 & 5 & 0.4 \\ \hline 6& 6 & 0.8 \\ \hline 7& 7& 0.5 \\ \hline 8 & 8& 0.9\\ \hline 9 & 9 &0.2 \\ \hline 10& 10& 0.5 \\ \hline \end{array}$

Рис. 6.7. Дополнения нечетких множеств X и Y. E – единичная матрица

$XuY_{i,1}:=I,\; XnY_{i,1}:=i$ $XuY_{i,2}:=\max (X_{i,2},Y_{i,2}),\; XnY_{i,2}:=\min (X_{i,2},Y_{i,2})$

$XuY:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 2 \\ \hline 1 &1 & 1 \\ \hline 2& 2 & 0.2 \\ \hline 3 & 3 & 0.6 \\ \hline 4 & 4 & 0.5 \\ \hline 5 & 5& 0.8 \\ \hline 6& 6 & 0.2 \\ \hline 7& 7& 0.7 \\ \hline 8 & 8 & 0.3\\ \hline 9 & 9 & 0.8 \\ \hline 10& 10 & 0.5 \\ \hline \end{array}$ , $XnY:=\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 0 \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ \hline 2& 2 & 0.1 \\ \hline 3 & 3 & 0 \\ \hline 4 & 4 & 0.4 \\ \hline 5 & 5 & 0.6 \\ \hline 6& 6 & 0.2 \\ \hline 7& 7& 0.5 \\ \hline 8 & 8& 0.1\\ \hline 9 & 9 &0.1 \\ \hline 10& 10& 0.1 \\ \end{array}$

Рис. 6.8. Пересечение и объединение нечетких множеств X и Y

Пример 6.6

Приводим листинги операций дополнения, пересечения, объединения для нечетких множеств примера 6.2 с треугольными функциями принадлежности. (рис.6.9, рис. 6.10,6.11 )

Дополнение множеств $AF1d(x):=1-AF1(x), \; AF2d(x):=1-AF2(x)$

Рис. 6.9. Дополнение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Объединение и пересечение множеств $AF1\cup AF2(x):=\max(AF1(x),AF2(x))$

Рис. 6.10. Объединение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Пересечение множеств $AF1\cap AF2(x):= \min(AF1(x),AF2(x))$

Рис. 6.11. Пересечение нечетких множеств с треугольными функциями принадлежности

Расстояние между множествами

Чтобы определить расстояние между элементами множества , надо наложить метрику на это множество. Рассмотрим следующие метрики. Математическим прообразом реального трехмерного пространства является пространство Евклида. Пространство Евклида обозначают обычно . Для линейных дискретных пространств, особенностью которых является то, что координаты векторов могут принимать лишь дискретные значения, известно пространство Хемминга. Если рассмотреть функции принадлежности всех множеств на универсальном множестве , то они образуют функциональное множество всех функций, определенных на , и принимающих значения на отрезке [0, 1] . Метрика на множестве — это функция $\rho (x,y)$ , сопоставляющая каждой паре элементов $x, y\in X$ действительное число по правилу выбранного пространства.

Чтобы найти расстояние между множествами и используются метрики, представленные в таблице 6.2:

Таблица 6.2. Некоторые виды метрик функциональных пространств
Вид метрики	Вид множества
Вид метрики	– дискретное множество, число его элементов	— непрерывное множество
Линейное расстояние (расстояние Хемминга)	$\rho(\mu_A,\mu_b)=\sum_{i=1}^{n}\|\mu_A(x_i)-\mu_B(x_i)\|$	$\rho(\mu_A,\mu_b)=\int_{a}^{b}\|\mu_A(x)-\mu_B(x)\|dx$
Евклидово расстояние	$\rho(\mu_A,\mu_b)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(\mu_A(x_i)-\mu_B(x_i))^2}$	$\rho(\mu_A,\mu_b)=\sqrt{\int_{a}^{b}(\mu_A(x)-\mu_B(x))^2dx}$

Пример. 6.7

Для нечетких множеств и примера 6.1. построим расстояние между множествами в среде MathCad. Обозначим rXYx – расстояние по Хеммингу, rXYe - расстояние по Евклиду (см. рис. 6.2):

$rXYx:=\sum_{i=1}^{10}|X_{i,2}-Y_{i,2}|$ , rXYx=3.1

$rXYe:=\sqrt{\sum_{i=1}^{10}(X_{i,2}-Y_{i,2})^2}$ , rXYe=1.204

Определение понятия "обычное множество, ближайшее к нечеткому"

Обычным множеством, ближайшим к нечеткому множеству с функцией принадлежности $\mu_A(u)\;(u\in U)$ , называют подмножество A_0 множества , характеристическая функция которого имеет вид:

$\mu_{A_0}= \left\{ \begin{array}{lc} 1, \; если \; \mu_A>0.5 \\ 0, \; если \; \mu_A<0.5 \\ 1 \; или\; 0, \; если \; \mu_A=0.5 \end{array} \right\$

( 6.7)

Геометрический смысл понятия "обычное множество A_0 , ближайшее к нечеткому множеству " иллюстрирует рис. 6.12.

Рис. 6.12. Множество, ближайшее к нечеткому

Значения $|\mu_A-\mu_{A_0}|$ при различном расположении точек графиков функций:

$\bullet$ - функция $\mu_A$ , $\bigcirc$ - функция $\mu_A0$

Как видно на рисунке, справедливы неравенства

$|\mu_A-\mu_{A_0}|<0.5, \; если \; |\mu_A>0.5| \; или \; |\mu_A<0.5|$

$|\mu_A-\mu_{A_0}|=0.5, \; если \; |\mu_A=0.5|$ независимо от того $\mu_A=1$ или $\mu_A=0$

Если — обычное множество, то оно является ближайшим к самому себе. Это следует непосредственно из определения.

Пример 6.8

Для множеств и примера 6.1 построим в MathCad множества и – ближайшие к нечетким, воспользуемся встроенной функцией

if (условие, результат1, результат2)

результат 1 – если условие выполнено, результат 2 в противном случае.

$X0,\; Y0$ – множества ближайшие к нечетким и

$X0_{i,1}:=i$ , $Y0_{i,1}:=i$

$X0_{i,2}:=if(X_{i,2}>0.5,1,0)$ , $Y0_{i,2}:=if(Y_{i,2}>0.5,1,0)$

$X0= \begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 2 \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ \hline 2 & 2 &1 \\ \hline 3 & 3 & 1 \\ \hline 4 & 4 & 0 \\ \hline 5 &5 & 0 \\ \hline 6 & 6 &0\\ \hline 7 & 7 & 1 \\ \hline 8 & 8 & 0 \\ \hline 9 & 9 & 0 \\ \hline 10 & 10 & 1 \\ \hline \end{array}$ , $Y0= \begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 2 \\ \hline 1 & 1 & 0 \\ \hline 2 & 2 &0 \\ \hline 3 & 3 & 1 \\ \hline 4 & 4 & 0 \\ \hline 5 &5 & 1 \\ \hline 6 & 6 &0\\ \hline 7 & 7 & 1 \\ \hline 8 & 8 & 0 \\ \hline 9 & 9 & 1 \\ \hline 10 & 10 & 0 \\ \hline \end{array}$

Дальше >>

Авторизоваться

Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования

Нечеткие множества

6.5 Операции над нечеткими множествами

Дополнение. Пересечение. Объединение.

Расстояние между множествами

Определение понятия "обычное множество, ближайшее к нечеткому"

Вопросы и ответы