НОУ ИНТУИТ | Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования. Лекция 6: Нечеткие множества

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Уральский государственный экономический университет

Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 467 / 49 | Длительность: 11:44:00

Темы: Математика, Экономика, Образование

|

Вам нравится? Нравится 25 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

6.8 Оценка инвестиционного проекта

В "Финансово-экономические модели" описаны методы оценки эффективности инвестиционных проектов, определения их финансовых показателей и проведены расчеты средствами MathCad для детерминированных данных. В случае, если входные параметры точно не определены, можно рассматривать их как стохастические переменные и решить задачу методом Монте Карло (см. "Имитационное моделирование" ). Применим метод нечетких множеств для оценки инвестиций.

Задача.6.2

Пусть начальная инвестиция инвестиционного проекта составляет около 3 млн. руб. Предполагается, что срок реализации проекта составит 2 года, в каждый из которых он будет в среднем приносить 2 млн. руб. Исследовать проект на основе чистой современной стоимости и внутренней доходности. Можно ли принять такой проект?

Постановка задачи

Одним из основных показателей оценки эффективности инвестиционного проекта является показатель NPV - чистая дисконтированная стоимость. (см. "Финансово-экономические модели" , выражение (2.30):

$NVP:=-I+\sum_{i=1}^{n}\frac{V_i}{(1+r)^i}$

здесь – объем первоначальных инвестиций; V_i – оборотное сальдо поступлений и платежей (прибыль) в -том периоде; - число периодов; – ставка дисконтирования в -том периоде. Будем считать, что прибыль каждый год одинакова V_1= V_2 .

Если все показатели проекта детерминированы, решение рассматриваемой задачи аналогично решению задачи 2.7 ( "Финансово-экономические модели" ). Для нашего случая используем метод нечетких множеств.

Модель задачи

Построим модель решения задачи. Поскольку по условию показатели проекта нельзя определить точно, зададим их как нечеткие параметры. Исходя из выражения (6.11), определим переменные, которые представим в нечеткой форме. Это начальная инвестиция , прибыль , ставка дисконтирования . Будем считать, что эти показатели меняются на интервале от до в соответствующих пределах. Зададим для них функции принадлежности в виде треугольных функций. Создадим множества $\alpha$ –уровня. Выбрав 10 уровней $\alpha$ на отрезке [0,1] , построим приближенное разложение нечетких множеств I, V, r . Используя операции над $\alpha$ –уровнями, найдем NPV и получим приближенное разложение нечеткого множества NPV по тем же уровням $\alpha$ .

Решение

Для начальной инвестиции и ежегодной прибыли их приближенные значения даны в условии. Чтобы определить пределы ставок дисконтирования, найдем внутреннюю доходность нашего проекта - ставку дисконтирования, для которой значение чистой текущей стоимости NPV равно нулю. Такая задача средствами Mathcad решена в лекции 2 (задача… ). Для средних значений показателей и внутренняя доходность $irr=21,5\%$ . Для ставок дисконтирования < 21,5% проект является прибыльным, поскольку чистая дисконтированная стоимость NPV>0 . Для ставки дисконтирования $r=21,5\%$ , дисконтированные доходы от проекта равны инвестиционным затратам. Это максимально возможная ставка дисконта, при которой можно инвестировать средства без каких-либо потерь.

ORIGIN:=1

i:=1..10

Начальная инвестиция: I:=3

Прибыль в год: V:=2

Срок (годы): n:=2

$NVP(I,V,x):=-I+\sum_{i=1}^{n}\frac{V}{(1+x)^i}$

$NVP(I,V,x)\equiv 0\; \begin{array}{|lc} solve, x \\ assume, x\ge 0 \end{array} \to \frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{2}{3}=0.215$

Внутренняя доходность: irr:=0.125

NVP(I,V,0.1)=0.471

NVP(I,V,0.15)=0.251

NVP(I,V,0.2)=0.056

Рис. 6.15. Чистая дисконтированная стоимость NPV и внутренняя доходность irr

Функции принадлежности

Построим функции принадлежности для I, V, r . Используем пример 6.2. этой лекции (см. рис. 6.3).

Начальная инвестиция . Предполагается, что, скорее всего к началу проекта получим 3 млн. руб., но в зависимости от условий, можем получить от 2,9 до 3,1 млн. руб. Задаем множество в виде тройки I = (2,9; 3; 3,1) .

Функция принадлежности начальной инвестиции

$a:=2.9 \; b:=3 \; c:=3.1$

$F1I(x):=1-\frac{(b-x)}{b-a}$ , $F2I(x):=1-\frac{(x-b)}{c-b}$

$I(x):= \begin{array}{|lc} F1I(x) \; if \; a\le x \le b \\ F2I(x) \; if \; b\le x \le c \\ 0 \; otherwise \end{array}$

Рис. 6.16. Функция принадлежности начальной инвестиции I

Прибыль .. Предполагается, что, скорее всего прибыль в каждый год составит около 2 млн. руб., однако, может колебаться в пределах от 1,3 до 2,7 млн. руб. Задаем множество в виде тройки V= (2,9; 3; 3,1)

Функция принадлежности ежегодной прибыли

$a1:=1.3 \; b1:=2 \; c1:=2.7$

$F1V(x):=1-\frac{(b1-x)}{b1-a1}$ , $F2V(x):=1-\frac{(x-b1)}{c1-b1}$

$V(x):= \begin{array}{|lc} F1V(x) \; if \; a1\le x \le b1 \\ F2V(x) \; if \; b1\le x \le c1 \\ 0 \; otherwise \end{array}$

Рис. 6.17. Функция принадлежности прибыли V

Ставка дисконтирования . Выберем ставку в пределах от 12% до 21%. С вероятным значением 17%. Задаем множество в виде тройки r = (0,12; 0,17; 0,21)

Функция принадлежности ставки дисконтирования

$a1:=0.12 \; b1:=0.17 \; c1:=0.21$

$F1r(x):=1-\frac{(b1-x)}{b1-a1}$ , $F2r(x):=1-\frac{(x-b1)}{c1-b1}$

$r(x):= \begin{array}{|lc} F1r(x) \; if \; a1\le x \le b1 \\ F2r(x) \; if \; b1\le x \le (c1) \\ 0 \; otherwise \end{array}$

Рис. 6.18. Функция принадлежности ставки дисконтирования r

Разложение по α-уровням

Выберем 10 уровней $\alpha$ на отрезке [0,1] : $\alpha \in \?0;0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9; 1\?$ . Найдем нечеткие переменные I, V, r для ?-уровней. Рассчитаем границы множеств I, V, r при заданном значении ? - интервалы достоверности. Представим методику расчета для инвестиции .

Инвестиция I. Зададим $\alpha$ в виде индексной переменной $\alpha_i, \; i$ - номер сечения. Для расчета интервала достоверности при заданном значении $\alpha_i$ надо решить уравнение вида:

$I(x)_i= \alpha_i$

где I(x)_i – значение функции принадлежности для $\alpha_i$ - значение $\alpha$ -уровня. Решением будет $I\alpha_i$ - два значения – левый и правый конец сечения функции принадлежности I(x) . Интервал достоверности I?i, представим виде матрицы c элементами $I\alpha_{ij}, \; j=1,2$ . Первый столбец j=1 – левая граница, второй столбец j=2 – правая граница функции принадлежности. Расчеты в Mathcad проведем с использованием символьной операции solve (решение уравнения) в матричном представлении. К матрице $I\alpha$ добавим столбец значений $\alpha_i$ . Для этого используем функцию Mathcad augment() . Получим матрицу $I\alpha \alpha$ с тремя столбцами.

ORIGIN:=1

$i:=1..111 \; j:=1..2$

$h:=0.1 \; \alpha_i:=0+(i-1)\cdot h$

$I\alpha_{i,1}:=F1I(x)=\alpha_i solve\to 0.1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \\ 0.4 \\ 0.5 \\ 0.6 \\ 0.7 \\ 0.8\\ 0.9 \\ 1.0 \end{pmatrix}+2.9$

$I\alpha_{i,2}:=F2I(x)=\alpha_i solve\to 3.1-0.1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0.1 \\ 0.2 \\ 0.3 \\ 0.4 \\ 0.5 \\ 0.6 \\ 0.7 \\ 0.8\\ 0.9 \\ 1.0 \end{pmatrix}_i$

Матрица интервалов достоверности $I\alpha$ начальной инвестиции:

$I\alpha=\begin{array}{|c|c|c|} \hline & 1 & 2 \\ \hline 1 & 2.9 & 3.1 \\ \hline 2 & 2.91 & 3.09 \\ \hline 3 & 2.92 & 3.08 \\ \hline 4 & 2.93 & 3.07 \\ \hline 5 & 2.94 & 3.06 \\ \hline 6 & 2.95 & 3.05 \\ \hline 7 & 2.96 & 3.04 \\ \hline 8 & 2.97 & 3.03 \\ \hline 9 & 2.98 & 3.02 \\ \hline 10 & 2.99 & 3.01 \\ \hline 11 & 3 & 3 \\ \hline \end{array}$

$\alpha=\begin{array}{|c|c|} \hline & 1\\ \hline 1 & 0 \\ \hline 2 & 0.1 \\ \hline 3 & 0.2 \\ \hline 4 & 0.3 \\ \hline 5 & 0.4 \\ \hline 6 & 0.5\\ \hline 7 & 0.6 \\ \hline 8 &0.7 \\ \hline 9 & 0.8 \\ \hline 10 & 0.9 \\ \hline 11 & 1\\ \hline \end{array}$

Матрица $I\alpha\alpha$ начальной инвестиции с значениями $\alpha$

$I\alpha\alpha:=augment(I\alpha,\alpha)$

$I\alpha\alpha=\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3\\ \hline 1 & 2.9 & 3.1 & 0 \\ \hline 2 & 2.91 & 3.09 & 0.1 \\ \hline 3 & 2.92 & 3.08 & 0.2 \\ \hline 4 & 2.93 & 3.07 & 0.3 \\ \hline 5 & 2.94 & 3.06 & 0.4 \\ \hline 6 & 2.95 & 3.05 & 0.5\\ \hline 7 & 2.96 & 3.04 & 0.6 \\ \hline 8 & 2.97 & 3.03 & 0.7 \\ \hline 9 & 2.98 & 3.02 & 0.8 \\ \hline 10 & 2.99 & 3.01 & 0.9 \\ \hline 11 & 3 & 3 & 1\\ \hline \end{array}$

Дальше >>

Авторизоваться

Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования

Нечеткие множества

6.8 Оценка инвестиционного проекта

Функции принадлежности

Разложение по α-уровням

Вопросы и ответы