Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 486 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 9:

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

9.2 Численные методы решения дифференциальных уравнений и их реализация

Численные методы решения дифференциального уравнения первого порядка будем рассматривать для следующей задачи Коши. Найти решение дифференциального уравнения

x'=f(x,t) ( 9.4)

удовлетворяющее начальному условию

x(t_0)=x_0 ( 9.5)

иными словами, требуется найти интегральную кривую x = x(t), проходящую через заданную точку M_0(t_0,x_0) (рис. 9.1).

Для дифференциального уравнения n-го порядка

x^{(n)}=f(t,x,x^{'},x^{''},\dots,x^{(n-1)}) ( 9.6)

задача Коши состоит в нахождении решения x = x(t), удовлетворяющего уравнению (9.6) и начальным условиям

x(t_0)=x_0,{x}^{'}(t_0)=x_0^{'},\dots,x^{(n-1)}(t_0)=x_0^{(n-1)} ( 9.7)

Рассмотрим основные численные методы решения задачи Коши.

9.2.1 Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера

При решении задачи Коши (9.4), (9.5) на интервале [t_0,t_n], выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек

t_i=t_0+ih,\quad i=0,1,\dots, n,\quad h=\frac{t_n-t_0}{n} ( 9.8)

Для вычисления значения функции в точке t_1 разложим функцию x = x(t) в окрестности точки t_0 в ряд Тейлора [2]

x(t_1)=x(t_0+h)=x(t_0)+x'(t_0)h+x''(t_0)\frac{h^2}{2}+\dots ( 9.9)

При достаточном малом значении h членами выше второго порядка можно пренебречь и с учётом x'(t_0)=f(x_{0,}t_0) получим следующую формулу для вычисления приближённого значения функции x(t) в точке t_1

x_1=x_0+hf(x_0,t_0) ( 9.10)

Рассматривая найденную точку (x_1,t_1), как начальное условие задачи Коши запишем аналогичную формулу для нахождения значения функции x(t) в точке t_2

x_2=x_1+hf(x_1,t_1).

Повторяя этот процесс, сформируем последовательность значений x_i в точках t_i по формуле

x_{i+1}=x_i+hf(x_i,t_i),\quad i=0,1,\dots,n. ( 9.11)

Процесс нахождения значений функции x_i в узловых точках t_i по формуле (9.11) называется методом Эйлера. Геометрическая интерпретация метода Эйлера состоит в замене интегральной кривой x(t) ломаной M_0,M_1,M_2,\dots,M_n с вершинами M_i(x_i,y_i). Звенья ломанной Эйлера M_iM_{i+1} в каждой вершине M_i имеют направление y_i=f(t_i,x_i), совпадающее с направлением интегральной кривой x(t) уравнения (9.4), проходящей через точку M_i (рис. 9.2). Последовательность ломанных Эйлера при h\to 0 на достаточно малом отрезке [x_i,x_i+h] стремится к искомой интегральной кривой.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Рис. 9.2. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

На каждом шаге решение x(t) определяется с ошибкой за счёт отбрасывания членов ряда Тейлора выше первой степени, что в случае быстро меняющейся функции f (t, x) может привести к быстрому накапливанию ошибки. В методе Эйлера следует выбирать достаточной малый шаг h.

Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Людмила Лузан
Людмила Лузан
Россия, Тюмень, ТюмГНГУ, 2008