Интегрирование и дифференцирование

8.3 Численное интегрирование

Пусть дана функция \[ f (x) \] , известно, что она непрерывна на интервале \[ [a, b] \] и уже определена её первообразная \[ F (x) \] , тогда определённый интеграл от этой функции можно вычислить в пределах от \[ a \] до \[ b \] по формуле Ньютона–Лейбница:

Пример 8.9. Вычислить определённый интеграл

К сожалению в Octave не предусмотрены средства символьного интегрирования, поэтому обратимся к таблице интегралов и найдём, что

Теперь вычислим интеграл по формуле Ньютона–Лейбница:

	
clear all;
% Функция, определяющая подынтегральное выражение
% x — переменная интегрирования, C — постоянная интегрирования.
function y=F(x,C)
	y=1/3-(2-x-1)^(3/2)+C;
end;
>>> a =2; b=5;
% Вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница
>>> I = F(b, 0)-F(a, 0)
I = 7.2679

На практике часто встречаются интегралы с первообразной, которая не может быть выражена через элементарные функции или является слишком сложной, что затрудняет, или делает невозможным, вычисления по формуле Ньютон-Лейбница. Кроме того, нередко подынтегральная функция задаётся таблицей или графиком и тогда понятие первообразной вообще теряет смысл. В этом случае большое значение имеют численные методы интегрирования, основная задача которых заключается в вычислении значения определённого интеграла на основании значений подынтегральной функции.

Численное вычисление определённого интеграла называют механической квадратурой. Формулы, соответствующие тому или иному численному методу приближённого интегрирования, называют квадратурными. Подобное название связано с геометрическим смыслом определённого интеграла: значение определённого интеграла

равно площади криволинейной трапеции с основаниями \[ [a, b] \] и \[ f (x) \] .

Вообще говоря, классические учебники по численной математике предлагают немало методов интегрирования, но здесь мы рассмотрим только те методы, которые имеют непосредственное отношение к функциям Octave.

Рис. 8.5. Геометрическая интерпретация метода трапеций

8.3.1 Интегрирование по методу трапеций

Изложим геометрическую интерпретацию интегрирования по методу трапеций. Для этого участок интегрирования \[ [a, b] \] разобьём точками на n равных частей (рис. 8.5), причём \[ x_0=a, x_n=b \]

Тогда длина каждой части будет равна \[ h=\frac{b-a}{n} \] , а значение абсциссы каждой из точек разбиения можно вычислить по формуле \[ x_i=x_0+ih,i=1,2,...,n-1 \] . Теперь из каждой точки \[ x_i \] проведём перпендикуляр до пересечения с кривой \[ f (x) \] , а затем заменим каждую из полученных криволинейных трапеций прямолинейной. Приближённое значение интеграла будем рассматривать как сумму площадей прямолинейных трапеций, причём площадь отдельной трапеции составляет \[ S_i=\frac{y_{i-1}+y_i}{2}h \] , следовательно, площадь искомой фигуры вычисляют по формуле:

Таким образом, получена квадратурная формула трапеций для численного интегрирования:

Функции \[ trapz \] и \[ cumtrapz \] реализуют численное интегрирование по методу трапеций в Octave.

Площадь фигуры под графиком функции \[ y(x) \] , в котором все точки заданы векторами \[ x \] и \[ y \] , вычисляет команда \[ trapz (x, y) \] .

Если вызвать функцию \[ trapz (y) \] с одним аргументом, то будет вычислена площадь фигуры под графиком функции \[ y(x) \] , в котором все точки заданы векторами \[ x \] и \[ y \] , причём по умолчанию элементы вектора \[ x \] принимают значения номеров элементов вектора \[ y \] .

Пример 8.10. Вычислить интеграл от функции y(x) = cos(x). Значения функции представлены в табл. 8.1.

Решение примера представлено в листинге 8.11.

	
>>> clear all;
>>> x=[-1.5708 -1.0708 -0.5708 -0.0708 0.4292 0.9292 1.4292];
>>> y=[0 0.47943 0.84147 0.99749 0.90930 0.59847 0.14112];
>>> I=trapz(x, y)
I = 1.9484

Пример 8.11. Вычислить интеграл \[ I=\int\limits_2^5\sqrt{2x-1}dx \]

Листинг 8.12 содержит несколько вариантов решения данного примера. В первом случае интервал интегрирования делится на отрезки с шагом 1, во втором 0.5, в третьем 0.1 и в четвёртом 0.05. Не трудно заметить, что чем больше точек разбиения, тем точнее значение искомого интеграла. Решение можно сравнить с результатом полученным в задаче 8.9, где этот же интеграл был найден по формулам Ньютона-Лейбница (листинг 8.10).

	
clear all;
% Вариант 1. h=1
>>> x = 2:5; y=sqrt(2-x-1); I1=trapz(x, y)
% Вариант 2. h=0.5
>>> x = 2:0.5:5; y=sqrt(2-x-1); I2=trapz(x, y)
% Вариант 3. h=0.1
>>> x = 2:0.1:5; y=sqrt(2-x-1); I3=trapz(x, y)
% Вариант 4. h=0.05
>>> x = 2:0.05:5; y=sqrt(2-x-1); I4=trapz(x, y)
% Результаты интегрирования
I1 = 7.2478
I2 = 7.2629
I3 = 7.2677
I4 = 7.2679

В листинге 8.13 приведён пример использования функции \[ trapz \] с одним аргументом. Как видим, в первом случае значение интеграла, вычисленного при помощи этой функции, не точно и совпадает со значением, полученным функцией \[ trapz (x, y) \] на интервале [2, 5] с шагом 1 (листинг 8.12, первый вариант). То есть мы нашли сумму площадей трёх прямолинейных трапеций с основанием \[ h = 1 \] и боковыми сторонами, заданными вектором y. Во втором случае, при попытке увеличить точность интегрирования, значение интеграла существенно увеличивается. Дело в том что, уменьшив шаг разбиения интервала интегрирования до 0.05, мы увеличили количество элементов векторов \[ x \] и \[ y \] и применение функции \[ trapz (y) \] приведёт к вычислению суммы площадей шестидесяти трапеций с основанием \[ h = 1 \] и боковыми сторонами, заданными вектором \[ y \] . Таким образом, в первом и втором примерах листинга 8.13 вычисляются площади совершенно разных фигур.

	
% Пример 1.
>>> x = 2:5; y=sqrt(2-x-1); I=trapz(y)
I = 7.2478
% Пример 2.
>>> x = 2:0.05:5; y=sqrt(2-x-1); I=trapz(y)
I = 145.36

Функция \[ cumtrapz \] выполняет так называемое "интегрирование с накоплением" по методу трапеций. Это означает, что она, так же как и \[ trapz \] , вычисляет площадь фигуры под графиком функции \[ y(x) \] , но результатом её работы является вектор, состоящий из промежуточных вычислений. То есть, если общая площадь \[ S \] криволинейной трапеции сформирована из суммы площадей \[ \sum_{i=1}^nS_i \] прямолинейных трапеций, то элементы вектора представляют собой следующую последовательность \[ S_1=0,S_2=S_1+S_2,S_3=S_1+S_2+S_3,...,S_n=S_1+S_2+S_3+\cdot\cdot\cdot+S_n \] .

Таким образом, последний элемент вектора будет равен искомой площади фигуры \[ S \] . Функцию интегрирования с накоплением можно вызывать в форматах \[ cumtrapz(x, y) \] и \[ cumtrapz(y) \] , где \[ x \] и \[ y \] векторы, определяющие функцию \[ y(x) \] .

Пример 8.12. Вычислить интеграл \[ I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{5+sin(x)}dx \]

Листинг 8.14 демонстрирует применение функции интегрирования с накоплением \[ cumtrapz \] к поставленной задаче. Там же приведена интерпретация работы этой функции с помощью команды \[ trapz \] .

	
>>> x = 0:0.1:pi/2; y=(5+sin(x)).^(-1);
% 1. Интегрирование с накоплением
>>> I1=cumtrapz(x, y)
I1 =
Columns 1 through 8:
0.0 0.0198 0.03923 0.05829 0.07701 0.09541 0.11352 0.13136
Columns 9 through 16:
0.1489 0.1663 0.18356 0.2006 0.2175 0.23434 0.25108 0.2677
% 2. Обычное интегрирование
>>> I2=trapz(x, y)
% Значение I2 совпадает с последним значением вектора I1
I2 = 0.26777
% 3. Интегрирование на левой части интервала от 0 до 1
>>> x = 0:0.1:1; y=(5+sin(x)).^(-1);
>>> I3=trapz(x, y)
% Значение I3 совпадает с 11-м значением вектора I1
I3 = 0.18356