Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 8:

Интегрирование и дифференцирование

< Лекция 7 || Лекция 8: 12345 || Лекция 9 >

8.2 Исследование функций

Понятие производной тесно связано с задачей исследования функции. Из курса математического анализа известно, что если производная функции f (x) положительна на всём интервале [a, b], то функция на нём возрастает, если всюду отрицательна, то f (x) убывает.

Пример 8.6. Построить график функции f(x)=1-2x-x^2 и её производной. Исследовать функцию на возрастание и убывание.

Вычислим производную заданной функции и построим оба графика в одном окне :

	
>>> symbols
>>> x=sym("x");
>>> f=1-2-x-x^2;
>>> differentiate(f, x)
ans=-2.0-(2.0)-x
% построим график заданной функции и её производной.
clf; cla;
L1=ezplot(’1-2*x-x^2’); set(L1, ’LineWidth’, 3, ’Color’, ’k’)
hold on
L2=ezplot(’-2-2*x’); set(L2, ’LineWidth’, 2, ’Color’, ’k’)
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’); title(’1-2x-x^2, -2-2x’)
Листинг 8.7. Исследование функции (пример 8.6).

На рис. 8.2 видим, что там, где y=f'(x) принимает положительные значения, f (x) возрастает, соответственно, при отрицательныхзначениях y=f'(x) функция f (x) убывает.

Говорят, что непрерывная функция f(x) имеет максимум в точке x = a, если в достаточной близости от этой точки производная f'(x) положительна слева от a и отрицательна справа от a. Если наоборот, то f(x) имеет минимум в точке x = a. Максимум и минимум объединяют названием экстремум. Если первая производная в этой точке f'(a) либо равна нулю, либо не существует, то в этой точке может быть экстремум.

Пример 8.7. Исследовать функцию f(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+1 на экстремум.

Найдём производную функции и отобразим её на графике:

	
clear all;
symbols
x=sym("x");
f=x^3/3-2-x^2+3-x+1;
% Производная от функции f(x)
y=differentiate(f, x)
y=3.0+x^(2.0)-(4.0)-x
% Изобразим функцию и её производную на графике
clf; cla;
L1=ezplot(’x^3/3-2*x^2+3*x+1’);
set(L1, ’LineWidth’, 3, ’Color’, ’k’)
hold on
L2=ezplot(’3.0+x^(2.0)-(4.0)*x’);
set(L2, ’LineWidth’, 2, ’Color’, ’k’)
set(gca, ’xlim’, [-2,5]); set(gca, ’ylim’, [-5,5]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’);
title(’x^3/3-2x^2+3x+1, 3+x^2-4x’)
% Корни уравнения
>>> x1 = symfsolve(y, 1)
>>> x2 = symfsolve(y, 3)
x1 = 1
x2 = 3
Листинг 8.8. Исследование функции (пример 8.7).

На рис. 8.3 и в листинге 8.8 видно, что первая производная обращается в нуль в точках x = 1 и x = 3. При переходе через точку x = 1\ f'(x) меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума функции f (x), а в точке x = 3 знак первой производной меняется с минуса на плюс, то есть это точка минимума.

График функции называется выпуклым на промежутке [a, b], если он расположен выше касательной, проведённой в любой точке этого интервала. Если же график функции лежит ниже касательной, то он называется вогнутым. Функция будет выпуклой на интервале [a, b], если вторая производная f''(x) на нём положительна. И наоборот, если вторая производная отрицательна, то функция вогнута. Если же вторая производная равна нулю в некоторой точке a, а слева и справа от неё имеет значения разных знаков, то точка a — точка перегиба.

Исследование функции на экстремум

Рис. 8.3. Исследование функции на экстремум

Пример 8.8. Определить точки перегиба функции f(x)=\frac{3x-2}{x^2+1}

Найдём вторую производную заданной функции. Построим графики функции и её второй производной. Определим точки в которых вторая производная обращается в ноль (листинг 8.9).

	
clear all;
symbols
x=sym("x");
f=(3-x-2)/(x^2+1);
y=differentiate(f, x, 2)
y=-(2.0)*(1.0+x^(2.0))^(-2)*(-2.0+(3.0)*x)-(12.0)*(1.0+x^(2.0))^(-2)
	*x+(8.0)*(1.0+x^(2.0))^(-3)*x^2*(-2.0+(3.0)*x)
clf; cla;
L1=ezplot(’(3*x-2)/(x^2+1)’); set(L1, ’LineWidth’, 4, ’Color’, ’k’)
hold on
L2=ezplot(’-(2.0)*(1.0+x^(2.0))^(-2)*(-2.0+(3.0)*x)-(12.0)*(1.0+x^(2.0))^(-2)
	*x+(8.0)*(1.0+x^(2.0))^(-3)*x^2*(-2.0+(3.0)*x)’);
set(L2, ’LineWidth’, 2, ’Color’, ’k’)
set(gca, ’xlim’, [-5, 5]); set(gca, ’ylim’, [-5, 7]);
grid on; xlabel(’x’); ylabel(’y’); title(’ ’)
>>> x1 = symfsolve(y, -1)
>>> x2 = symfsolve(y, 0)
>>> x3 = symfsolve(y,2)
x1 = -1.1411
x2 = 0.19855
x3 = 2.9425
Листинг 8.9. Точки перегиба функции (пример 8.8).
Определение точки перегиба функции

Рис. 8.4. Определение точки перегиба функции

Иллюстрации приведены на рис. 8.4. Исследование второй производной функции f''(x) показывает, что она определена на всей числовой оси и обращается в нуль в трёх точках x_1=-1.1411,x_2=0.19855,x_3=2.9425, причём при переходе через них она меняет знак. Следовательно, на интервале (-\infty,x_1) функция f (x) вогнутая, так как f'' (x) < 0, на (x_1,x_2) — выпуклая ( f''(x) > 0), на (x_2,x_3) — вогнутая ( f''(x) < 0) и на (x_3,+\infty) опять выпуклая, потому что f''(x) > 0.

< Лекция 7 || Лекция 8: 12345 || Лекция 9 >
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009