Оптимальная разделяющая гиперплоскость
4.1. Существование и единственность
Пусть и
- конечные
множества точек в евклидовом пространстве
.
Определение. и
разделимы гиперплоскостью, если существует
единичный вектор
и число
, что
при
,
при
.
Обозначим ,
.
Тогда
при
,
при
.
Если
, то гиперплоскость
![]() |
( 4.1) |


В силу непрерывности и
существует множество разделяющих
гиперплоскостей, если существует (4.1).
Определение. Оптимальной называется разделяющая гиперплоскость
(4.1), соответствующая вектору , при котором достигается максимум
.
Теорема. Если два множества и
разделимы гиперплоскостью, то оптимальная разделяющая
гиперплоскость существует и единственна.
Доказательство. Функция непрерывна на сфере
.
Значит,
существует и достигается при некотором значении
. Предположим, что он достигается внутри сферы, т.е.
. Тогда для
получаем



Следовательно, максимум достигается на границе сферы, т.е. .
Докажем единственность максимума. Предположим, что это не так и
существуют различные и
такие,
что
. Рассмотрим значение
,
не совпадающее ни с
, ни с
.


Тогда



Но лежит внутри сферы
и поэтому не может быть точкой максимума.
Следовательно, предположение о существовании двух максимумов неверно и
максимум единственный.
Таким образом, если максимум функции достигается при значении
,
то гиперплоскость
максимально удалена от
и
и разделяет их.