Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5051 / 1431 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 6:

Случайные события, случайные величины. Их законы распределения и числовые характеристики

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Изменение величины параметра \sigma (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием \sigma ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси X и прижимается к ней. При убывании \sigma ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси X и становится более "островершинной".

При этом, при любых значениях \alpha и \sigma площадь ограниченная нормальной кривой и осью X, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси X нормальной кривой, равна 1).

Нормальное распределение с произвольными параметрами \alpha и \sigma, т. е. описываемое дифференциальной функцией

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}},
называется общим нормальным распределением.

Нормальное распределение с параметрами \alpha=0 и \sigma=1, т. е. описываемое дифференциальной функцией

\varphy(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x)^2}{2}}, ( 6.6)

называется нормированным распределением (рис. 6.8). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:

f_max \approx 0.4; f_A = f_B \approx 0.24; f_C = f_D \approx 0.0044; f_E = f_G \approx 0.05.

Рис. 6.8.

Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:

F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(z-a)^2}{2\sigma^2}}dx, ( 6.7)

Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:

F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{z^2}{2}}dz, ( 6.8)

где

z=\frac{x-a}{\sigma}.

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

P(c < X < d) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_c^d e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} dx,

Пронормируем это выражение. Для этого введем новую переменную z

Откуда: x = \sigma \cdot z +a, dx = \sigma dz.

Новые пределы интегрирования:

Для x=c, z=\frac{c-a}{\sigma};

для x=d, z=\frac{d-a}{\sigma};

Тогда, после нормирования, вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

P(c < X < d) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_\frac{c-a}{\sigma}^\frac{d-a}{\sigma} e^{-\frac{z^2}{2}} (\sigma \cdot dz) =
= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^\frac{d-a}{\sigma} e^{\frac{z^2}{2}}dz - \int_0^{\frac{c-a}{\sigma}} e^{\frac{z^2}{2}} dz.

Пользуясь функцией Лапласа (функция табулирована)

Ф(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-\frac{z^2}{2}} dz

окончательно получим

P(c < X < d) = Ф(\frac{d-a}{\sigma}) – Ф(\frac{c-a}{\sigma}).

Пример.

Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и \sigma = 10. Найти вероятность того, что X примет значение в интервале (10, 50).

Решение:

По условию: c = 10; d = 50; a = 30; \sigma = 10.

Тогда

P(10 < X < 50)=Ф(\frac{50-30}{10}) - Ф(\frac{10-30}{10})=\\
=Ф(2) – Ф(-2)=2 \cdot Ф(2).

Пользуясь готовыми таблицами Лапласа, имеем:

Отсюда P(10 < X < 50) = 2 \cdot 0.4772 = 0.9544.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Екатерина Кузина
Екатерина Кузина
Россия, г. Москва
Дмитрий Соболев
Дмитрий Соболев
Россия, Москва, МГТУ им Н.Э. Баумана, 1993