Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5054 / 1437 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 6:

Случайные события, случайные величины. Их законы распределения и числовые характеристики

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Среднее квадратичное отклонение:

\sigma(x)=\sqrt{D(x)}=\sqrt{2.01}=1.4177.

Рассмотрим пример, если задана непрерывная случайная величина.

Пусть непрерывная случайная величина задана интегральной функцией распределения:

{F_x}=\left\{ \begin{array}{l} 
0, \text{ если } x \le 0,\\ x, \text{ если } 0 < x \le 1,\\ 1, \text{ если } x > 1. \end{array} \right.

Найдем дифференциальную функцию распределения:

{f_x}=\left\{ \begin{array}{l} 0, \text{ если } x \le 0,\\ 1, \text{ если } 0 < x \le 1,\\ 0, \text{ если } x > 1. \end{array} \right.

Математическое ожидание X и X2:

M(X) = \int \limits_0^1 xf(x) \cdot dx = \int \limits_0^1 x \cdot 1dx = \frac{x^2}{2}\left|_0^1 \right. = \frac{1}{2};\\ 
M(X^2) = \int \limits_0^1 x^2f(x) \cdot dx = \int \limits_0^1 x^2 \cdot 1dx = \frac{x^3}{3}\left|_0^1 \right. = \frac{1}{3}

Тогда:

D(X) = M(X^2) – (M(X))^2 = \frac{1}{3} – (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{12};\\
\sigma(x) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{1}{12}} = 0.288675.

Если равномерно распределенная случайная величина задана в интервале [a,b], то ее математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны:

M(X) = \frac{1}{2} \cdot (a+b),\\
D(X) = \frac{1}{12} \cdot (b-a)^2,\\
\sigma(X) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}} \cdot (b-a).

Свойства дисперсии:

  1. D(C)=0
  2. D(CX)=C2D(X)
  3. D(X+Y)=D(X)+D(Y),
  4. D(C+X)=D(X),
  5. D(X-Y)=D(X)+D(Y).

Свойство среднеквадратичного отклонения:

\sigma (X+Y+Z) = \sqrt {\sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + \sigma^2(Z)}.

Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины занимает особое место среди различных теоретических законов, т. к. является основным во многих практических исследованиях, им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами.

К случайным явлениям, подчиняющимся нормальному закону распределения, относятся ошибки измерений производственных параметров, распределение технологических погрешностей изготовления, рост и вес большинства биологических объектов, распределение параметров пленочных резисторов и др.

Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}, ( 6.5)

где

a - математическое ожидание случайной величины;

\sigma -среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис. 6.7).


Рис. 6.7.

Свойства нормальной кривой (кривой Гаусса):

  1. Кривая симметрична относительно прямой x = a.
  2. Нормальная кривая расположена над осью X, т. е. при всех значениях X функция f(x) всегда положительна.
  3. Ось X является горизонтальной асимптотой графика, т. к.
    lim f(x) = 0\\
\left| x \right| \to \infty
  4. При x = a функция f(x) имеет максимум равный
    f_max = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \approx \frac{0.4}{\sigma}.
  5. В точках A и B при x = a - \sigma и x = a + \sigma кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны.
    f_A = f_B = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi e}} \approx 0.6 \cdot f_{max} \approx \frac{0.24}{\sigma}.

    При этом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения \sigma, равна 0,6826.

  6. В точках E и G, при x = a - 2\sigma и x = a + 2\sigma, значение функции f(x) равно
    f_E = f_G = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-2} \approx \frac{0.05}{\sigma},
    а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9544.
  7. Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D, при x = a - 3\sigma и x = a + 3\sigma, очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f(x) очень мало
    f_C = f_D = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{- (\frac{9}{2})} \approx \frac{0.0044}{\sigma},
    а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется "правило трех сигм".

Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.

При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Дмитрий Миляев
Дмитрий Миляев
Россия
Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003