Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5048 / 1426 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 6:

Случайные события, случайные величины. Их законы распределения и числовые характеристики

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >

Свойства математического ожидания:

  1. M(C)=C – математическое ожидание константы равно самой константе
  2. M(CX) = C \cdot M(X)
  3. M(X \cdot Y) = M(X) \cdot M(Y)
  4. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Вероятностный смысл математического ожидания:

Математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

M(X)\approx \check X = x_1\cdot \frac{m_1}{n} + x_2\cdot \frac{m_2}{n} + \ldots + x_k\cdot \frac{m_k}{n} = x_1\cdot W_1 + x_2\cdot W_2 + \ldots + x_k\cdot W_k,

где:

mk – частота наблюдений, Wk – относительная частота.

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение – это числовые характеристики случайной величины, которые позволяют оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, т. е.

xI - M(X).

Пусть закон распределения дискретной случайной величины известен:

X   x1   x2  …  xn
P   p1   p2  …  pn

Тогда закон распределения отклонения этой случайной величины имеет вид:

X-M(X)   x1-M(X)   x2-M(X)  …  xn-M(X)
  P         p1       p2     …    pn

Так как одни возможные отклонения положительны, а другие отрицательны, то математическое ожидание отклонения обладает важным свойством:

M(X – M(X))=0,

т.е. математическое ожидание отклонения всегда равно нулю.

Поэтому для оценки рассеяния случайной величины вокруг ее математического ожидания вычисляют квадрат отклонения случайной величины, т. е.

(xi - M (X))2.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Для дискретной случайной величины: D(X) = M(X – M(X))2

Для непрерывной случайной величины:

D(X)=\int\limits_a^b(x-M(X))^2f(x)dx.

В последнем выражении все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку (a, b).

Дисперсия случайной величины (как дискретной, так и случайной) есть неслучайная (постоянная величина).

Пример:

Дискретная случайная величина имеет следующий закон распределения:

X    1     2     5
P   0.3   0.5   0.2

Математическое ожидание этой случайной величины:

M(X)=x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 + x_3 \cdot p_3 = 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.5 + 5 \cdot 0.2 = 2.3.

Квадраты отклонений возможных значений случайной величины:

(x_1-M(X))^2=(1 – 2.3)^2=1.69,\\
(x_2-M(X))^2=(2-2.3)^2=0.09,\\
(x_3-M(X))^2=(5-2.3)^2=7.29.

Закон распределения квадрата отклонения:

(x-M(X))2   1.69   0.09   7.29
p           0.3    0.5    0.2

Тогда дисперсия приведенной случайной величины равна:

D(X)=1\ldot69 \cdot 0\ldot3 + 0\ldot09 \cdot 0\ldot5 + 7\ldot29 \cdot 0\ldot2=2\ldot01

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии, т. е.

\sigma(X)=\sqrt{D(X)}

В приведенном примере среднее квадратичное отклонение случайной величины равно:

\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{2.01} = 1.4177446.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой: D(X)=M(X2)–(M(X))2, т. е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Рассмотрим еще раз предыдущий пример.

Дискретная случайная величина задана законом распределения:

X   1     2     5
P  0.3   0.5   0.2

Математическое ожидание этой случайной величины равно:

M(X)=1\cdot0.3+2\cdot0.5+5\cdot0.2=2.3

Закон распределения квадрата случайной величины, т. е. X2:

X2   1     4     25
P   0.3   0.5   0.2

Математическое ожидание X2 равно:

M(X^2) = 1\cdot0.3 + 4\cdot0.5 + 25\cdot0.2 = 7.3.

Тогда дисперсия приведенной случайной величины равна:

D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = 7.3 – (2.3)^2=2.01.
< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск