Теории и модели
Полные теории
В этом разделе мы попытаемся систематизировать уже известные нам понятия и факты.
- Начнем с напоминаний. Сигнатурой мы называли набор предикатных и функциональных символов. Среди формул данной сигнатуры выделяют замкнутые (формулы без параметров). Сигнатура имеет интерпретации, в которых замкнутые формулы этой сигнатуры бывают истинными и ложными. Произвольное множество замкнутых формул данной сигнатуры называется теорией в этой сигнатуре. Моделью теории называется интерпретация, в которой все формулы теории истинны. Теория называется совместной, если она имеет модель.
- Теория называется теорией с равенством, если она включает в себя аксиомы равенства (а ее сигнатура содержит символ равенства). Интерпретация теории с равенством называется нормальной, если равенство интерпретируется как совпадение элементов носителя интерпретации. Совместная теория с равенством имеет нормальную модель (получаемую из произвольной модели факторизацией по отношению равенства).
-
Говорят, что замкнутая формула
выводима в теории
(является теоремой теории
), если формула
получается из аксиом исчисления предикатов и формул теории
по правилам вывода. (Обозначение:
.)
Формула
выводима в теории
тогда и только тогда, когда в исчислении предикатов выводится некоторая формула вида
, где
— конъюнкция конечного числа формул из
.
Формула
семантически следует из
, если она истинна в любой модели теории
(обозначение:
). Семантическое следование равносильно выводимости (теорема 51). Взяв в качестве
тождественно ложную формулу
(скажем, отрицание тавтологии), приходим к понятиям противоречивости (
) и несовместности (
,
не имеет моделей). В противоречивой теории выводима любая формула (соответствующей сигнатуры).
- Непротиворечивая теория
полна (в данной сигнатуре), если для любой замкнутой формулы
этой сигнатуры либо формула
, либо ее отрицание
выводится из
.
- Для произвольной интерпретации
произвольной сигнатуры
можно рассмотреть элементарную теорию интерпретации
, обозначаемую
и состоящую из всех истинных в
замкнутых формул сигнатуры
. Очевидно, эта теория полна (одна из формул
и
ей принадлежит). Две интерпретации
и
элементарно эквивалентны, если
.
- Теория
называется конечно аксиоматизируемой, если существует конечное множество
теорем теории
, из которых выводятся все утверждения из
(другими словами, если существует конечная теория, имеющая то же самое множество теорем).
- Теория с равенством, имеющая конечную или счетную сигнатуру, называется категоричной в счетной мощности, если все ее счетные нормальные модели изоморфны. Категоричность в данной несчетной мощности определяется аналогично.
- Теория с конечной сигнатурой называется разрешимой, если существует алгоритм, который по произвольной замкнутой формуле определяет, выводима ли она в этой теории или нет.
117. Покажите, что добавление к теории любой ее теоремы не меняет множества теорем.
Прежде чем переходить к примерам, сделаем два простых наблюдения.
Теорема 65 (критерий Лося-Воота). Непротиворечивая теория с равенством
в конечной или счетной сигнатуре, не имеющая конечных моделей и
категоричная в счетной мощности, полна.
Предположим, что ни одна из формул и
не выводима в теории
. Тогда обе теории
и
непротиворечивы. По
теореме 47) они имеют счетные модели, которые остаются счетными после
факторизации (перехода к нормальным моделям), поскольку
теория
не имеет конечных моделей. Эти счетные модели должны
быть изоморфными (в силу категоричности). С другой стороны, в
одной из них истинна формула
, а в другой —
формула
, так что они даже не элементарно эквивалентны
(мы знаем из раздела "Элементарная эквивалентность", что такого быть не может).
Аналогично доказывается и общая форма критерия Лося-Воота:
Теорема 66. Непротиворечивая теория с равенством в конечной или счетной
сигнатуре, не имеющая конечных моделей и категоричная в данной
несчетной мощности , полна.
Пусть теория не полна и к ней можно присоединить без
противоречия любую из формул
и
.
Рассмотрим счетные нормальные модели теорий
и
. По
теореме 62 увеличим их мощности до
и получим противоречие.
118. Условие конечности или счетности сигнатуры в этой теореме можно ослабить. Как это сделать?
Вот пример применения теоремы 66. Теория алгебраически
замкнутых полей характеристики категорична в
любой несчетной мощности. (Это можно доказать, используя
базисы трансцендентности: такое поле имеет базис
трансцендентности над полем алгебраических чисел, мощность
которого равна мощности всего поля, а два поля с равномощными
базисами трансцендентности изоморфны). Следовательно, эта теория полна.
Заметим, что это наблюдение согласовано со знаменитой (и трудной!) теоремой Морли; эта теорема утверждает, что теория с равенством, категоричная в одной несчетной мощности, категорична и во всех несчетных мощностях. (Подробно о теореме Морли можно прочесть, например, в учебнике Кейслера и Чэна [13])
Теорема 67. Конечно аксиоматизируемая полная теория в конечной сигнатуре разрешима.
Пусть дана произвольная формула . Будем перебирать все
выводы в исчислении предикатов и проверять, не обнаружилась ли
выводимость одной из формул
или
из конъюнкции некоторых аксиом теории
. Рано или поздно одна из
них окажется выводимой (поскольку теория полна), и тем самым мы
узнаем, какая из формул выводима в теории.
Это доказательство неконструктивно в том смысле, что не дает никакой оценки на время работы алгоритма. Отметим также, что не обязательно требовать конечной аксиоматизируемости теории; достаточно, чтобы она имела разрешимое или перечислимое множество аксиом (см. [5]).
Проиллюстрируем все эти понятия на нескольких (в основном уже обсуждавшихся нами) примерах.