Арифметика Пресбургера
Теорема 37. Упорядоченные множества и
(второе
состоит из двух копий множества
, причем все элементы первой копии
считаются меньшими всех элементов второй копии) элементарно
эквивалентны как интерпретации сигнатуры
.
Здесь также можно применить элиминацию кванторов, только надо добавить одноместные функции взятия последующего и предыдущего элементов. После этого надо заметить, что стандартная процедура элиминации кванторов (см. доказательство теоремы 29) состоит из преобразований, сохраняющих эквивалентность в обеих интерпретациях.
76. Можно ли построить счетную интерпретацию сигнатуры , в
которой равенство интерпретируется как совпадение элементов
(такие интерпретации называют нормальными), элементарно
эквивалентную множеству
, но не изоморфную ему? Тот же
вопрос для множества неотрицательных рациональных чисел. Почему
существенна нормальность интерпретации?
77. Существует ли упорядоченное множество, элементарно эквивалентное
упорядоченному множеству , но имеющее большую мощность?
78. Существуют ли два несчетных неизоморфных элементарно эквивалентных упорядоченных множества одинаковой мощности?
79. Будут ли упорядоченные множества
и
(пары целых чисел; сравниваются сначала вторые компоненты
пар, а при их равенстве — первые) изоморфны? элементарно эквивалентны?
80. Будет ли упорядоченное множество элементарно
эквивалентно
? Будет ли
элементарно
эквивалентно
?
Рассуждение, использованное при доказательстве теоремы
Тарского-Зайденберга, также можно приспособить для
доказательства элементарной эквивалентности. Сейчас мы
рассмотрим более простой случай алгебраически замкнутых полей,
соответствующий элиминации кванторов в ; к вещественному
случаю мы вернемся.
Поле называется алгебраически замкнутым,
если всякий многочлен, отличный от константы, имеет в нем хотя бы один
корень. (Отсюда легко следует, что любой многочлен разлагается
на линейные множители.) Характеристикой поля называют
минимальное число слагаемых в сумме вида , при
котором она обращается в нуль. Если никакая сумма такого вида не
равна нулю, то поле называют полем характеристики
.
В алгебраически замкнутых полях характеристики
справедливы все обычные свойства многочленов с
комплексными коэффициентами. В частности, корень является
кратным тогда и только тогда, когда он будет корнем производной,
сумма корней с учетом кратности равна степени многочлена и т. д.
Это позволяет заметить, что все преобразования, которые
выполнялись при элиминации кванторов, являются эквивалентными в
произвольных алгебраически замкнутых полях характеристики
.
Тем самым мы получаем такую теорему:
Теорема 38 (о полноте теории алгебраически замкнутых полей
характеристики нуль) Любые два алгебраически замкнутых поля характеристики
элементарно эквивалентны.
(Название этой теоремы станет понятным, когда мы будем говорить о полных теориях.)
81. Покажите, что любые два алгебраически замкнутых поля одной и той же конечной характеристики элементарно эквивалентны.
Теорему 38 можно несколько усилить. Для этого нам понадобится понятие "элементарного расширения".
Пусть фиксирована сигнатура и две интерпретации этой
сигнатуры с носителями
и
. Пусть при этом
и интерпретации предикатных и функциональных
символов в
и
согласованы, то есть на
аргументах из
символы интерпретируются одинаково. (Заметим, что отсюда
следует замкнутость
относительно сигнатурных операций.) В
этом случае
иногда называют подструктурой
в
, а
— расширением
.
Например, если мы рассматриваем группы как интерпретации
сигнатуры , то
подструктуры — это подгруппы.
82. Почему здесь важно, что операция обращения включена в сигнатуру?
Интерпретацию называют элементарным расширением
ее подструктуры
, если выполнено такое свойство: для всякой
(не обязательно замкнутой формулы)
и для всякой оценки
со значениями в
формула
истинна в
на этой оценке тогда и только тогда, когда она истинна в
на той же
оценке.
В частности, если формула замкнута (не содержит параметров), то
ее истинность не зависит от оценки и мы получаем, что и
элементарно эквивалентны.
83. Пусть сигнатура содержит константы для всех элементов
интерпретации , которая является подструктурой
интерпретации
. Покажите, что если
интерпретации
и
элементарно эквивалентны, то
является
элементарным расширением
.
Нам понадобится такой пример: пусть имеется поле и его
расширение
. Мы будем рассматривать поля
и
как две интерпретации сигнатуры
. Пусть имеется
некоторая система полиномиальных уравнений с несколькими
переменными с коэффициентами из
. Тогда утверждение о том,
что она имеет решение, записывается в виде формулы (содержащей
кванторы существования по переменным и конъюнкцию уравнений;
коэффициенты многочленов являются параметрами этой формулы).
Поэтому если
является элементарным расширением
, то всякая система уравнений с коэффициентами в
, имеющая
решение в
, имеет решение и в
.
Теорема 39. Пусть — подполе поля
, причем оба они
алгебраически замкнуты и имеют характеристику
. Тогда
(как интерпретация указанной сигнатуры) является элементарным
расширением интерпретации
.
В самом деле, элиминация кванторов преобразует любую формулу (с
параметрами или без) в эквивалентную ей бескванторную, причем
эквивалентность имеет место в обоих полях. А для бескванторной
формулы ее истинность при оценке со значениями в никак не
может зависеть от того, внутри какого поля эта истинность вычисляется.
Эту теорему называют теоремой о модельной полноте теории алгебраически замкнутых полей характеристики нуль. Из нее с учетом замечания перед ее формулировкой вытекает такой хорошо известный алгебраистам факт:
Теорема 40 (Гильберта о нулях). Всякая система полиномиальных уравнений с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле характеристики нуль, имеющая решение в некотором расширении этого поля, имеет решение и в самом поле.
В самом деле, расширение можно еще расширить до алгебраически замкнутого (при этом решение не пропадет), а затем воспользоваться теоремой 39.
84. Другой вариант теоремы Гильберта о нулях формулируется так: пусть дана система уравнений
![\left\{
\begin{aligned}
P_1(x_1,\dots,x_n)=0,\\
\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\
P_k(x_1,\dots,x_n)=0,
\end{aligned}
\right.](/sites/default/files/tex_cache/43acedd20e9e91a950d83173b06e15d5.png)
![P_i](/sites/default/files/tex_cache/08b0104e514f16d489cc743b6f66d906.png)
![\mathbb C](/sites/default/files/tex_cache/b36eac3d201a1a25dda928990a79d751.png)
![Q_i(x_1,\dots,x_n)](/sites/default/files/tex_cache/3c80f54fc61c54b4d80fdb105dd602a1.png)
![P_1(x_1,\dots,x_n)Q_1(x_1,\dots,x_n)+\ldots+
P_k(x_1,\dots,x_n)Q_k(x_1,\dots,x_n)](/sites/default/files/tex_cache/f8a4c1110cb6a63162c4a86e09340a63.png)
Выведите это утверждение из доказанного нами варианта теоремы
Гильберта о нулях. (Указание: рассмотрим в кольце
идеал, порожденный многочленами
; если он содержит
единицу, то все доказано, если нет, то расширим его до максимального
идеала
; тогда факторкольцо
будет полем, расширяющим
, и в этом поле классы многочленов
составляют решение нашей системы.)