Арифметика Пресбургера

Теорема 37. Упорядоченные множества и (второе состоит из двух копий множества , причем все элементы первой копии считаются меньшими всех элементов второй копии) элементарно эквивалентны как интерпретации сигнатуры .

Здесь также можно применить элиминацию кванторов, только надо добавить одноместные функции взятия последующего и предыдущего элементов. После этого надо заметить, что стандартная процедура элиминации кванторов (см. доказательство теоремы 29) состоит из преобразований, сохраняющих эквивалентность в обеих интерпретациях.

76. Можно ли построить счетную интерпретацию сигнатуры , в которой равенство интерпретируется как совпадение элементов (такие интерпретации называют нормальными), элементарно эквивалентную множеству , но не изоморфную ему? Тот же вопрос для множества неотрицательных рациональных чисел. Почему существенна нормальность интерпретации?

77. Существует ли упорядоченное множество, элементарно эквивалентное упорядоченному множеству , но имеющее большую мощность?

78. Существуют ли два несчетных неизоморфных элементарно эквивалентных упорядоченных множества одинаковой мощности?

79. Будут ли упорядоченные множества и (пары целых чисел; сравниваются сначала вторые компоненты пар, а при их равенстве — первые) изоморфны? элементарно эквивалентны?

80. Будет ли упорядоченное множество элементарно эквивалентно ? Будет ли элементарно эквивалентно ?

Рассуждение, использованное при доказательстве теоремы Тарского-Зайденберга, также можно приспособить для доказательства элементарной эквивалентности. Сейчас мы рассмотрим более простой случай алгебраически замкнутых полей, соответствующий элиминации кванторов в ; к вещественному случаю мы вернемся.

Поле называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен, отличный от константы, имеет в нем хотя бы один корень. (Отсюда легко следует, что любой многочлен разлагается на линейные множители.) Характеристикой поля называют минимальное число слагаемых в сумме вида , при котором она обращается в нуль. Если никакая сумма такого вида не равна нулю, то поле называют полем характеристики .

В алгебраически замкнутых полях характеристики справедливы все обычные свойства многочленов с комплексными коэффициентами. В частности, корень является кратным тогда и только тогда, когда он будет корнем производной, сумма корней с учетом кратности равна степени многочлена и т. д. Это позволяет заметить, что все преобразования, которые выполнялись при элиминации кванторов, являются эквивалентными в произвольных алгебраически замкнутых полях характеристики . Тем самым мы получаем такую теорему:

Теорема 38 (о полноте теории алгебраически замкнутых полей характеристики нуль) Любые два алгебраически замкнутых поля характеристики элементарно эквивалентны.

(Название этой теоремы станет понятным, когда мы будем говорить о полных теориях.)

81. Покажите, что любые два алгебраически замкнутых поля одной и той же конечной характеристики элементарно эквивалентны.

Теорему 38 можно несколько усилить. Для этого нам понадобится понятие "элементарного расширения".

Пусть фиксирована сигнатура и две интерпретации этой сигнатуры с носителями и . Пусть при этом и интерпретации предикатных и функциональных символов в и согласованы, то есть на аргументах из символы интерпретируются одинаково. (Заметим, что отсюда следует замкнутость относительно сигнатурных операций.) В этом случае иногда называют подструктурой в , а — расширением .

Например, если мы рассматриваем группы как интерпретации сигнатуры , то подструктуры — это подгруппы.

82. Почему здесь важно, что операция обращения включена в сигнатуру?

Интерпретацию называют элементарным расширением ее подструктуры , если выполнено такое свойство: для всякой (не обязательно замкнутой формулы) и для всякой оценки со значениями в формула истинна в на этой оценке тогда и только тогда, когда она истинна в на той же оценке.

В частности, если формула замкнута (не содержит параметров), то ее истинность не зависит от оценки и мы получаем, что и элементарно эквивалентны.

83. Пусть сигнатура содержит константы для всех элементов интерпретации , которая является подструктурой интерпретации . Покажите, что если интерпретации и элементарно эквивалентны, то является элементарным расширением .

Нам понадобится такой пример: пусть имеется поле и его расширение . Мы будем рассматривать поля и как две интерпретации сигнатуры . Пусть имеется некоторая система полиномиальных уравнений с несколькими переменными с коэффициентами из . Тогда утверждение о том, что она имеет решение, записывается в виде формулы (содержащей кванторы существования по переменным и конъюнкцию уравнений; коэффициенты многочленов являются параметрами этой формулы). Поэтому если является элементарным расширением , то всякая система уравнений с коэффициентами в , имеющая решение в , имеет решение и в .

Теорема 39. Пусть — подполе поля , причем оба они алгебраически замкнуты и имеют характеристику . Тогда (как интерпретация указанной сигнатуры) является элементарным расширением интерпретации .

В самом деле, элиминация кванторов преобразует любую формулу (с параметрами или без) в эквивалентную ей бескванторную, причем эквивалентность имеет место в обоих полях. А для бескванторной формулы ее истинность при оценке со значениями в никак не может зависеть от того, внутри какого поля эта истинность вычисляется.

Эту теорему называют теоремой о модельной полноте теории алгебраически замкнутых полей характеристики нуль. Из нее с учетом замечания перед ее формулировкой вытекает такой хорошо известный алгебраистам факт:

Теорема 40 (Гильберта о нулях). Всякая система полиномиальных уравнений с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле характеристики нуль, имеющая решение в некотором расширении этого поля, имеет решение и в самом поле.

В самом деле, расширение можно еще расширить до алгебраически замкнутого (при этом решение не пропадет), а затем воспользоваться теоремой 39.

84. Другой вариант теоремы Гильберта о нулях формулируется так: пусть дана система уравнений

Выведите это утверждение из доказанного нами варианта теоремы Гильберта о нулях. (Указание: рассмотрим в кольце идеал, порожденный многочленами ; если он содержит единицу, то все доказано, если нет, то расширим его до максимального идеала ; тогда факторкольцо будет полем, расширяющим , и в этом поле классы многочленов составляют решение нашей системы.)