Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 722 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 7:

Арифметика Пресбургера

< Лекция 6 || Лекция 7: 123456 || Лекция 8 >

Теорема 37. Упорядоченные множества \mathbb Z и \mathbb Z+\mathbb Z (второе состоит из двух копий множества \mathbb Z, причем все элементы первой копии считаются меньшими всех элементов второй копии) элементарно эквивалентны как интерпретации сигнатуры ({=},{<}).

Здесь также можно применить элиминацию кванторов, только надо добавить одноместные функции взятия последующего и предыдущего элементов. После этого надо заметить, что стандартная процедура элиминации кванторов (см. доказательство теоремы 29) состоит из преобразований, сохраняющих эквивалентность в обеих интерпретациях.

76. Можно ли построить счетную интерпретацию сигнатуры (=,<), в которой равенство интерпретируется как совпадение элементов (такие интерпретации называют нормальными), элементарно эквивалентную множеству \mathbb Q, но не изоморфную ему? Тот же вопрос для множества неотрицательных рациональных чисел. Почему существенна нормальность интерпретации?

77. Существует ли упорядоченное множество, элементарно эквивалентное упорядоченному множеству \mathbb R, но имеющее большую мощность?

78. Существуют ли два несчетных неизоморфных элементарно эквивалентных упорядоченных множества одинаковой мощности?

79. Будут ли упорядоченные множества \mathbb Z и \mathbb Z\times\mathbb Z (пары целых чисел; сравниваются сначала вторые компоненты пар, а при их равенстве — первые) изоморфны? элементарно эквивалентны?

80. Будет ли упорядоченное множество \mathbb N+\mathbb N элементарно эквивалентно \mathbb N? Будет ли \mathbb N+\mathbb Z элементарно эквивалентно \mathbb N?

Рассуждение, использованное при доказательстве теоремы Тарского-Зайденберга, также можно приспособить для доказательства элементарной эквивалентности. Сейчас мы рассмотрим более простой случай алгебраически замкнутых полей, соответствующий элиминации кванторов в \mathbb C ; к вещественному случаю мы вернемся.

Поле называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен, отличный от константы, имеет в нем хотя бы один корень. (Отсюда легко следует, что любой многочлен разлагается на линейные множители.) Характеристикой поля называют минимальное число слагаемых в сумме вида 1+1+\ldots+1, при котором она обращается в нуль. Если никакая сумма такого вида не равна нулю, то поле называют полем характеристики 0.

В алгебраически замкнутых полях характеристики 0 справедливы все обычные свойства многочленов с комплексными коэффициентами. В частности, корень является кратным тогда и только тогда, когда он будет корнем производной, сумма корней с учетом кратности равна степени многочлена и т. д. Это позволяет заметить, что все преобразования, которые выполнялись при элиминации кванторов, являются эквивалентными в произвольных алгебраически замкнутых полях характеристики 0. Тем самым мы получаем такую теорему:

Теорема 38 (о полноте теории алгебраически замкнутых полей характеристики нуль) Любые два алгебраически замкнутых поля характеристики 0 элементарно эквивалентны.

(Название этой теоремы станет понятным, когда мы будем говорить о полных теориях.)

81. Покажите, что любые два алгебраически замкнутых поля одной и той же конечной характеристики элементарно эквивалентны.

Теорему 38 можно несколько усилить. Для этого нам понадобится понятие "элементарного расширения".

Пусть фиксирована сигнатура \sigma и две интерпретации этой сигнатуры с носителями M_1 и M_2. Пусть при этом M_1\hm\subset M_2 и интерпретации предикатных и функциональных символов в M_1 и M_2 согласованы, то есть на аргументах из M_1 символы интерпретируются одинаково. (Заметим, что отсюда следует замкнутость M_1 относительно сигнатурных операций.) В этом случае M_1 иногда называют подструктурой в M_2, а M_2 — расширением M_1.

Например, если мы рассматриваем группы как интерпретации сигнатуры ({=},{\times},1, \text{обращение}), то подструктуры — это подгруппы.

82. Почему здесь важно, что операция обращения включена в сигнатуру?

Интерпретацию M_2 называют элементарным расширением ее подструктуры M_1, если выполнено такое свойство: для всякой (не обязательно замкнутой формулы) F и для всякой оценки \pi со значениями в M_1 формула F истинна в M_1 на этой оценке тогда и только тогда, когда она истинна в M_2 на той же оценке.

В частности, если формула замкнута (не содержит параметров), то ее истинность не зависит от оценки и мы получаем, что M_1 и M_2 элементарно эквивалентны.

83. Пусть сигнатура содержит константы для всех элементов интерпретации M_1, которая является подструктурой интерпретации M_2. Покажите, что если интерпретации M_1 и M_2 элементарно эквивалентны, то M_2 является элементарным расширением M_1.

Нам понадобится такой пример: пусть имеется поле k_1 и его расширение k_2. Мы будем рассматривать поля k_1 и k_2 как две интерпретации сигнатуры ({=},{+},{\times},0,1). Пусть имеется некоторая система полиномиальных уравнений с несколькими переменными с коэффициентами из k_1. Тогда утверждение о том, что она имеет решение, записывается в виде формулы (содержащей кванторы существования по переменным и конъюнкцию уравнений; коэффициенты многочленов являются параметрами этой формулы). Поэтому если k_2 является элементарным расширением k_1, то всякая система уравнений с коэффициентами в k_1, имеющая решение в k_2, имеет решение и в k_1.

Теорема 39. Пусть k_1 — подполе поля k_2, причем оба они алгебраически замкнуты и имеют характеристику 0. Тогда k_2 (как интерпретация указанной сигнатуры) является элементарным расширением интерпретации k_1.

В самом деле, элиминация кванторов преобразует любую формулу (с параметрами или без) в эквивалентную ей бескванторную, причем эквивалентность имеет место в обоих полях. А для бескванторной формулы ее истинность при оценке со значениями в k_1 никак не может зависеть от того, внутри какого поля эта истинность вычисляется.

Эту теорему называют теоремой о модельной полноте теории алгебраически замкнутых полей характеристики нуль. Из нее с учетом замечания перед ее формулировкой вытекает такой хорошо известный алгебраистам факт:

Теорема 40 (Гильберта о нулях). Всякая система полиномиальных уравнений с коэффициентами в алгебраически замкнутом поле характеристики нуль, имеющая решение в некотором расширении этого поля, имеет решение и в самом поле.

В самом деле, расширение можно еще расширить до алгебраически замкнутого (при этом решение не пропадет), а затем воспользоваться теоремой 39.

84. Другой вариант теоремы Гильберта о нулях формулируется так: пусть дана система уравнений

\left\{
        \begin{aligned}
P_1(x_1,\dots,x_n)=0,\\
\dots\dots\dots\dots\dots\dots\\
P_k(x_1,\dots,x_n)=0,
        \end{aligned}
\right.
где все P_i — многочлены с комплексными коэффициентами, причем эта система не имеет решения в \mathbb C. Тогда можно найти такие многочлены Q_i(x_1,\dots,x_n), что
P_1(x_1,\dots,x_n)Q_1(x_1,\dots,x_n)+\ldots+
P_k(x_1,\dots,x_n)Q_k(x_1,\dots,x_n)
тождественно равно единице.

Выведите это утверждение из доказанного нами варианта теоремы Гильберта о нулях. (Указание: рассмотрим в кольце \bbC[x_1,\dots,x_n] идеал, порожденный многочленами P_1,\dots,P_k ; если он содержит единицу, то все доказано, если нет, то расширим его до максимального идеала I ; тогда факторкольцо \mathbb C[x_1,\dots,x_n]/I будет полем, расширяющим \mathbb C, и в этом поле классы многочленов x_1,\dots,x_n составляют решение нашей системы.)

< Лекция 6 || Лекция 7: 123456 || Лекция 8 >