Арифметика Пресбургера

Пример. Выпишем диаграмму для системы многочленов , , . Корнями здесь будут числа , , , так что столбцы соответствуют четырем промежуткам и трем разделяющим их корням.

Отметим, что значения корней не являются частью диаграммы, так что, например, система многочленов , , имеет точно такую же диаграмму.

Если ни один из многочленов не имеет корней, то они сохраняют знак на всей прямой, и диаграмма состоит из единственного столбца, в котором записаны все эти знаки.

Теперь рассмотрим набор многочленов . При фиксированных значениях переменных мы получаем набор многочленов от одной переменной с действительными коэффициентами и можем построить его диаграмму. Эта диаграмма будет зависеть от выбора значений . Число строк в диаграмме равно , а ширина ее зависит от числа различных корней и может меняться, однако во всех случаях не превосходит , где — сумма степеней всех многочленов (рассматриваются степени по , то есть степени соответствующих многочленов от с коэффициентами в ).

Таким образом, число возможных диаграмм конечно, и пространство возможных значений переменных разбивается на конечное число частей: каждая часть соответствует одному из возможных значений диаграммы.

Для доказательства теоремы Тарского-Зайденберга достаточно доказать, что эти части будут полуалгебраическими множествами. В самом деле, если в качестве многочленов взять многочлены, входящие в формулу , то область истинности формулы

будет объединением нескольких частей соответствующего разбиения. В самом деле, если мы двигаем точку в пределах одной части разбиения, то диаграмма не меняется, значит, и истинность формулы не меняется (по диаграмме можно определить истинность формулы, перепробовав значения , соответствующие всем столбцам).

Итак, нам осталось доказать, что для любого набора многочленов части пространства , соответствующие различным значениям диаграммы, являются полуалгебраическими множествами. Начнем с такого очевидного наблюдения: если это верно для какого-то набора , то это останется верным и для любого меньшего набора. В самом деле, диаграмму меньшего семейства многочленов можно получить из диаграммы большего семейства: выкидывая многочлен, надо выбросить соответствующую строку, а также столбцы, которые соответствовали корням этого многочлена (если они не были корнями других многочленов). При выбрасывании столбца два окружающих его столбца сливаются в один.

Поэтому мы имеем право для удобства расширить данный нам набор многочленов и доказывать полуалгебраичность частей для расширенного набора. Расширение будет состоять в замыкании относительно некоторых операций, которые мы сейчас опишем.

Напомним еще раз, что мы рассматриваем семейство многочленов из , которые разложены по степеням , то есть записаны как многочлены от с коэффициентами в . Рассмотрим следующие операции:

• отбрасывание старшего члена (с наибольшей степенью переменной ); эта операция понижает степень (по ) на единицу;
• взятие старшего коэффициента (коэффициента при наибольшей степени переменной ); эта операция понижает степень (по ) до нуля;
• дифференцирование по ; эта операция понижает степень (по ) на единицу;
• взятие модифицированного остатка при делении одного многочлена на другой.

Говоря о "модифицированном остатке", мы имеем в виду следующее. При делении "уголком" многочлена на многочлен с остатком нам неоднократно приходится делить на старший коэффициент многочлена . Поэтому в общем случае коэффициенты частного и остатка представляют собой дроби, в знаменателях которых стоят некоторые степени старшего коэффициента многочлена .

Тем самым при вычислении остатка от деления на мы выходим за пределы кольца . Этого не случится, если старший коэффициент многочлена равен единице. Но в общем случае мы должны принять какие-то меры, если хотим оставаться в указанном кольце. Меры эти состоят в следующем: прежде чем делить на , мы умножаем на старший коэффициент многочлена в достаточно большой степени. Если вспомнить процедуру деления уголком, легко сообразить, что достаточно взять степень , где и — степени многочленов и (по переменной ). Например, при требуется всего один шаг деления, и достаточно умножить на старший коэффициент многочлена в первой степени.

Итак, операция модифицированного остатка применима к любым двум многочленам степеней и (по ) и дает третий многочлен этого кольца, который есть остаток от деления на (здесь — старший коэффициент многочлена ). Заметим, что степень этого многочлена меньше степени многочлена . Мы будем предполагать, что (иначе остаток совпадает с и деление не дает ничего нового). Таким образом, результат этой операции имеет меньшую степень, чем оба операнда.

Заметим, что определение модифицированного остатка имеет смысл для многочленов с коэффициентами из произвольного кольца (не только ).

Лемма 1. Для всякого конечного множества многочленов из существует его конечное расширение, замкнутое относительно указанных четырех операций.

Это утверждение верно для любого кольца коэффициентов и почти очевидно следует из того, что степень результата операции меньше степени (любого) операнда. Более формально рассуждать надо так. Рассмотрим выражения, составленные из элементов с помощью четырех указанных операций. Глубина такого выражения не превосходит максимальной степени многочленов из , поскольку каждая операция уменьшает степень. Поэтому таких выражений конечное число, и их множество очевидным образом замкнуто относительно указанных операций. Лемма 1 доказана.

Доказанная лемма позволяет без ограничения общности считать, что данное нам конечное множество многочленов замкнуто относительно четырех указанных выше операций.