Физически реализуемые преобразования матриц плотности
Измерение
При описании квантовых алгоритмов часто бывает естественно считать, что наряду с квантовым вычислительным устройством используется и классическое. Основной механизм взаимодействия между квантовой и классической частями состоит в измерении квантовых регистров, дающем классический результат.
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, — квантовой ( ) и классической (
). По классическим координатам матрица плотности диагональна:
![\rho=\sum_{j,k,l}^{} \rho_{jkll} \left( \ket{j}\bra{k} \right)\otimes\left( \ket{l}\bra{l} \right)= \sum_{l}^{} w_l \gamma^{(l)} \otimes\left(\ket{l}\bra{l}\right),](/sites/default/files/tex_cache/539168d3336e6170b9dde2dc8e8ee93e.png)
где — вероятность иметь классическое состояние
, а оператор
обладает всеми свойствами матрицы плотности. Таким образом, квантово-классическое состояние всегда разложимо на "условные" (по аналогии с условными вероятностями) матрицы плотности
. Будем использовать для такого случая специальное обозначение:
.
Пусть имеется ряд взаимоисключающих возможностей, что выражается разложением пространства состояний в прямую сумму попарно ортогональных подпространств
![\calN=\bigoplus\limits_{j\in\Omega}\calL_j,](/sites/default/files/tex_cache/516409adbe0cdb7ea1d94ef73f22cd99.png)
![\Omega=\{1,\dots,r\}](/sites/default/files/tex_cache/692369189c4b35df6bc5204229f7eae7.png)
![\calL_1](/sites/default/files/tex_cache/d2f228490a19376323a4232db4605b0d.png)
![\calL_2](/sites/default/files/tex_cache/4036785a12e2ab0aba4e402478fdd919.png)
![\rho\in\DD(\calL_1)](/sites/default/files/tex_cache/7c9116c966db727f16ff1d905cf1602b.png)
![\PP(\rho,\calL_2)=0](/sites/default/files/tex_cache/684b6a9f6d2cd5db8106d51bf20a667d.png)
Преобразование матриц плотности, которое мы будем называть измерением, состоит в том, что для состояний из подпространства "измеряющий прибор" помещает в классический регистр номер состояния
:
![]() |
( 10.2) |
Хотя измерение отображает пространство в
, результат всегда диагонален по второй компоненте. Поэтому можно считать, что измерение отображает
в
.
Для выполняется равенство
. Поэтому из соображений линейности можно доопределить измерение на всех остальных матрицах плотности
![\rho\ \mapsto\ \sum_{j}^{}\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}, j\right)](/sites/default/files/tex_cache/3970ce314864b466df3832439b733a34.png)
Определение 10.1. (Детерминированным) измерением называется преобразование матриц плотности
![]() |
( 10.3) |
где .
Можно сказать, что — это результат измерения,
— вероятность получить данный результат, а
— состояние измеряемой системы после измерения при условии, что получен результат
. Если мы измеряем чистые состояния, т.е.
, то
, где
.
Приведем простейший пример измерения. Сделаем две копии бита. Пусть , а
. Тогда
![\rho= \begin{pmatrix} \rho_{00}&\rho_{01}\\ \rho_{10}&\rho_{11} \end{pmatrix} \mapsto (\rho_{00}\ket0\bra0,\,0)+(\rho_{11}\ket1\bra1,\,1).](/sites/default/files/tex_cache/6942d923679b5cf17bae65703f01903d.png)
Задача 10.6. "Квантовая телепортация" (см. [21]). Пусть имеются три q-бита: первый из них находится в произвольном (заранее неизвестном) состоянии , второй и третий — в состоянии
![\ket{\xi_{0,0}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\ket{0,0}\double+\ket{1,1}\Bigr).](/sites/default/files/tex_cache/e155052a06511e2fe85b3dcd41d41d00.png)
![\begin{multiple}
\BB^{\otimes 2}&=\CC(\ket{\xi_{00}})\double\oplus\CC(\ket{\xi_{01}})
\double\oplus\CC(\ket{\xi_{10}})\double\oplus
\CC(\ket{\xi_{11}}), \\
\mbox{где}\ \ket{\xi_{ab}}&= \frac{1}{\sqrt{2}}
\sum_{c}(-1)^{bc}\,\ket{c,c\xor a}.
\end{multiple}](/sites/default/files/tex_cache/81a812bbd9b237ca4ec211d24b879ae7.png)
![\rho](/sites/default/files/tex_cache/d2606be4e0cd2c9a6179c8f2e3547a85.png)
Замечание 10.3. Этот процесс можно представлять таким образом. Допустим, что Алиса хочет передать Бобу1Эти два персонажа встречаются практически в любой статье по квантовой теории информации.
квантовое состояние по классическому каналу связи (например, по телефону). Оказывается, что это возможно, если Алиса и Боб заранее приготовили состояние
и взяли от него по половинке — одному q-биту. Алиса производит измерение и сообщает результат Бобу. Затем Боб переводит свой q-бит в состояние
.