Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1811 / 503 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00
ISBN: 978-5-9556-0066-6
Специальности: Программист, Математик
Лекция 9:

Толстые кучи

Толстая куча

Толстая куча — это почти кучеобразный нагруженный лес.

Представление толстой кучи. Каждый узел толстой кучи будем представлять записью следующего вида:

\eq*{
{\rm FatNode} = ({\rm Key}, {\rm Parent}, {\rm Left}, {\rm Right},
{\rm LChild}, {\rm Rank}),
}
где {\rm Key}ключ элемента, приписанного узлу дерева; {\rm Parent}указатель на родителя; {\rm
Left}указатель на ближайшего левого брата; {\rm Right}указатель на ближайшего правого брата; {\rm LChild}указатель на самого левого сына; {\rm Rank}ранг узла. Таким образом, "братья" связаны в двусвязный список при помощи указателей {\rm Left} и {\rm Right}. У самого левого (правого) "брата" в этом списке указатель {\rm Left} ( {\rm Right} ) заземлен.

На рис. 9.2 представлено толстое дерево F_2 (внутри узлов указаны их ранги).


Рис. 9.2.

Вспомогательные структуры

Для представления толстой кучи введем новую структуру, которую назовем корневым счетчиком, а для того, чтобы быстро находить неправильные узлы, введем еще один избыточный счетчик, который назовем счетчиком нарушений. Таким образом, толстую кучу можно представить записью следующего вида:

\eq*{
{\rm FatHeap} = ({\rm RootCount}, {\rm CountViolation}, {\rm MinPointer},
{\rm MaxRank}),
}
где {\rm RootCount}массив, соответствующий корневому счетчику; {\rm CountViolation}массив, соответствующий счетчику нарушений; {\rm MinPointer}указатель на элемент кучи, имеющий минимальный ключ; {\rm MaxRank} — наибольший ранг среди рангов деревьев, присутствующих в куче.

Корневой счетчик. Корневой счетчик состоит из избыточного троичного представления числа элементов в куче и набора списочных элементов.

Значение i -го разряда избыточного корневого представления равно количеству деревьев ранга i, присутствующих в куче. При таком определении избыточного корневого представления число, которое оно представляет, равно числу узлов в куче, так как толстое дерево ранга i содержит ровно 3^i узлов. Заметим, что состояние избыточного корневого представления определяется неоднозначно. Отсюда следует, что толстая куча с одним и тем же набором элементов может быть представлена различными наборами толстых деревьев. Очевидно, что для любой толстой кучи, состоящей из n элементов, существует регулярное избыточное представление корневого счетчика.

Списочный элемент, приписанный i -му разряду избыточного корневого представления, — это указатель на список деревьев ранга i, присутствующих в куче, образованный посредством указателей {\rm
Right} корневых узлов связываемых деревьев.

Определение корневого счетчика дает возможность сделать несколько утверждений:

  1. Корневой счетчик позволяет иметь доступ к корню любого дерева ранга i за время O(1).
  2. Вставка толстого дерева ранга i соответствует операции инкрементирования i -го разряда корневого счетчика.
  3. Удаление толстого поддерева ранга i соответствует операции декрементирования i -го разряда корневого счетчика.
  4. Операции инкрементирования и декрементирования i -го разряда корневого счетчика осуществляются за время O(1).

Представление корневого счетчика. Корневой счетчик представляем расширяющимся массивом {\rm RootCount}, каждый элемент которого — запись с тремя полями:

\eq*{
({\rm Value}, {\rm ForwardPointer}, {\rm ListPointer}),
}
которые интерпретируем следующим образом:

  • {\rm RootCount}[i].{\rm Value}i -й разряд, равный количеству деревьев ранга i ;
  • {\rm RootCount}[i].{\rm ForwardPointer} — прямой указатель i -го разряда;
  • {\rm RootCount}[i].{\rm ListPointer} — указатель на список деревьев ранга i, присутствующих в толстой куче. Деревья в этом списке связаны при помощи указателя {\rm Right} корневых узлов связываемых деревьев. Если в куче нет деревьев ранга i, то указатель {\rm ListPointer} заземлен. Заметим, что если значение {\rm RootCount}[i].{\rm Value} равно нулю, то нам неважно, каково значение указателя {\rm RootCount}[i].{\rm
ListPointer}.

Инициализация корневого счетчика (InitRootCount). Поскольку корневой счетчик реализован как массив записей, возникает вопрос о величине данного массива и о том, что делать, когда весь этот массив заполнен. Чтобы была возможность оценить время инициализации счетчиков величиной O(1), используем поразрядную их инициализацию. То есть будем добавлять новые разряды только тогда, когда возникает такая необходимость, и при этом инициализировать новый разряд сразу в обоих счетчиках. Для этого мы вводим переменную {\rm MaxRank}, которая показывает нам, какая часть массивов счетчиков используется в данный момент.

При начальной инициализации необходимо установить счетчики в состояние, которое отвечает пустой куче. Очевидно, что в пустой куче не может быть никаких нарушений. Операция инициализации выглядит следующим образом.

Обновление прямого указателя i-го разряда корневого счетчика {\rm
UpdateForwardPointer(i) заключается в выполнении операторов

\formula{
\t If\ ({\rm RootCount}[i+1].{\rm
Value} = 3-1)\\
\mbox{}\q \t then\ {\rm
RootCount}[i].{\rm ForwardPointer} :=
{\rm RootCount}[i+1].{\rm ForwardPointer}\\
\mbox{}\q \t else\
\t{RootCount}[i].\t{ForwardPointer}:= i+1;
}

Корректировка списочной части i-го разряда корневого счетчика при вставке в кучу нового дерева ранга i ({\rm InsertTree(i,p)}). Эта процедура вставляет новое дерево ранга i (на него указывает указатель p ) в списочную часть i -го разряда корневого счетчика {\rm RootCount} и заключается в выполнении операторов

\formula{
p1 := {\rm RootCount}[i].{\rm ListPointer};\\
\t if\ ({\rm RootCount}[i].{\rm Value}
\ne 0)\
\t then\ p\t{\^{}.}{\rm Right} := p1\
\t {else}\
p\t{\^{}}.{\rm Right} := {\rm nil};\\
p\t{\^{}.}{\rm Left}:= {\rm nil}; {\rm RootCount}[i].{\rm ListPointer} := p;
}

Корректировка списочной части i>-го разряда корневого счетчика при удалении из кучи дерева ранга i ({\rm DeleteTree (i; p)). Эта процедура удаляет дерево ранга i (на него указывает указатель p ) из списочной части i -го разряда корневого счетчика {\rm RootCount}. Будем считать, что указанное дерево присутствует в куче. Процедура заключается в выполнении операторов

\formula{
p1:= {\rm RootCount}[i].{\rm ListPointer};\\
\t If\ (p1 = p)\ \t then\
{\rm RootCount}[i].{\rm ListPointer} := p\t{\^{}}.{\rm Right};\\
j:= 1;\\
\t while\ (j \le {\rm
RootCount}[i].{\rm Value})\ \t{and}\
(p1\t{\^{}}.{\rm Right} \ne p)\ \t do\\
\t begin\ j:= j+1;\ p1 :=
p1\t{\^{}.}{\rm Right}\,{\rm End}; \\
p1\t{\^{}.}{\rm Right} := p\t{\^{}}.{\rm Right};
}

Связывание (Fastening (p1, p2, p3)) трех толстых деревьев ранга i в одно толстое дерево ранга i +1. Эта функция принимает три указателя (p1, p2, p3) на три разных толстых дерева одного и того же ранга i и возвращает указатель на вновь сформированное дерево ранга i + 1.

Антон Сиротинкин
Антон Сиротинкин

на стр 6, лекции 3, Очевидно "Ck <= модуль(Gk(е))*b(k+1)" (1) - , подскажите что значит "модуль" и почему это очевидно...