Толстые кучи

Толстая куча

Толстая куча — это почти кучеобразный нагруженный лес.

Представление толстой кучи. Каждый узел толстой кучи будем представлять записью следующего вида:

где — ключ элемента, приписанного узлу дерева; — указатель на родителя; — указатель на ближайшего левого брата; — указатель на ближайшего правого брата; — указатель на самого левого сына; — ранг узла. Таким образом, "братья" связаны в двусвязный список при помощи указателей и . У самого левого (правого) "брата" в этом списке указатель ( ) заземлен.

На рис. 9.2 представлено толстое дерево (внутри узлов указаны их ранги).

Вспомогательные структуры

Для представления толстой кучи введем новую структуру, которую назовем корневым счетчиком, а для того, чтобы быстро находить неправильные узлы, введем еще один избыточный счетчик, который назовем счетчиком нарушений. Таким образом, толстую кучу можно представить записью следующего вида:

где — массив, соответствующий корневому счетчику; — массив, соответствующий счетчику нарушений; — указатель на элемент кучи, имеющий минимальный ключ; — наибольший ранг среди рангов деревьев, присутствующих в куче.

Корневой счетчик. Корневой счетчик состоит из избыточного троичного представления числа элементов в куче и набора списочных элементов.

Значение -го разряда избыточного корневого представления равно количеству деревьев ранга , присутствующих в куче. При таком определении избыточного корневого представления число, которое оно представляет, равно числу узлов в куче, так как толстое дерево ранга содержит ровно узлов. Заметим, что состояние избыточного корневого представления определяется неоднозначно. Отсюда следует, что толстая куча с одним и тем же набором элементов может быть представлена различными наборами толстых деревьев. Очевидно, что для любой толстой кучи, состоящей из элементов, существует регулярное избыточное представление корневого счетчика.

Списочный элемент, приписанный -му разряду избыточного корневого представления, — это указатель на список деревьев ранга , присутствующих в куче, образованный посредством указателей корневых узлов связываемых деревьев.

Определение корневого счетчика дает возможность сделать несколько утверждений:

1. Корневой счетчик позволяет иметь доступ к корню любого дерева ранга за время .
2. Вставка толстого дерева ранга соответствует операции инкрементирования -го разряда корневого счетчика.
3. Удаление толстого поддерева ранга соответствует операции декрементирования -го разряда корневого счетчика.
4. Операции инкрементирования и декрементирования -го разряда корневого счетчика осуществляются за время .

Представление корневого счетчика. Корневой счетчик представляем расширяющимся массивом , каждый элемент которого — запись с тремя полями:

которые интерпретируем следующим образом:

• — -й разряд, равный количеству деревьев ранга ;
• — прямой указатель -го разряда;
• — указатель на список деревьев ранга , присутствующих в толстой куче. Деревья в этом списке связаны при помощи указателя корневых узлов связываемых деревьев. Если в куче нет деревьев ранга , то указатель заземлен. Заметим, что если значение равно нулю, то нам неважно, каково значение указателя .

Инициализация корневого счетчика (InitRootCount). Поскольку корневой счетчик реализован как массив записей, возникает вопрос о величине данного массива и о том, что делать, когда весь этот массив заполнен. Чтобы была возможность оценить время инициализации счетчиков величиной , используем поразрядную их инициализацию. То есть будем добавлять новые разряды только тогда, когда возникает такая необходимость, и при этом инициализировать новый разряд сразу в обоих счетчиках. Для этого мы вводим переменную , которая показывает нам, какая часть массивов счетчиков используется в данный момент.

При начальной инициализации необходимо установить счетчики в состояние, которое отвечает пустой куче. Очевидно, что в пустой куче не может быть никаких нарушений. Операция инициализации выглядит следующим образом.

Обновление прямого указателя i-го разряда корневого счетчика заключается в выполнении операторов

Корректировка списочной части i-го разряда корневого счетчика при вставке в кучу нового дерева ранга i . Эта процедура вставляет новое дерево ранга (на него указывает указатель ) в списочную часть -го разряда корневого счетчика и заключается в выполнении операторов

Корректировка списочной части i>-го разряда корневого счетчика при удалении из кучи дерева ранга i . Эта процедура удаляет дерево ранга (на него указывает указатель ) из списочной части -го разряда корневого счетчика . Будем считать, что указанное дерево присутствует в куче. Процедура заключается в выполнении операторов

Связывание (Fastening (p1, p2, p3)) трех толстых деревьев ранга i в одно толстое дерево ранга i +1. Эта функция принимает три указателя на три разных толстых дерева одного и того же ранга и возвращает указатель на вновь сформированное дерево ранга .